[理学]4随机变量的数字特征.ppt

小结 四、 数学期望的性质 性质1 若C是常数,则E(C)=C. 性质2 若C是常数,则E(C )=CE( ). 分布 期望 第4章 随机变量的数字特征 4.2 方差 X2 P 2 3 5 7 8 1/8 1/8 1/2 1/8 1/8 X1 P 4 5 6 1/4 1/2 1/4 设有两种球形产品，其直径的取值规律如下： 两种产品的直径均值是相同的，但产品2的偏差大， 如果需要使用直径为5的产品，则产品1较产品2理想。 引例 一、随机变量方差的概念 若需要直径为5的产品，选哪种产品较理想？ 甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图： 你认为哪门炮射击效果好一些呢? 甲炮射击结果 乙炮射击结果 乙炮 因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 . 中心 中心 一、方差的定义 称为均方差或标准差. 方差刻画了随机变量的取值与数学期望的偏离程度,它的大小可以衡量随机变量取值的稳定性. 设 是一随机变量，如果 存在，则称 为 的方差，记为 二、 方差的意义及计算公式 (2)若方差DX=0，则随机变量X恒取常数值。 (1)方差是一个常用来体现随机变量X 取值分散程度的量. 如果DX值大, 表示X取值分散程度大,EX的代表性差; 而如果DX值小,则表示X 取值比较集中, 以EX作为随机变量的代表性好. （常用的）计算方差的简化公式: 解 P 4 5 6 1/4 1/2 1/4 例 设有一种球形产品，其直径的取值规律如下： 求　 。 三 、方差的性质 C 为常数 a为常数 * * * * * * * * * * * 第4章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望 引例 分赌本问题(产生背景) A, B 两人赌技相同, 各出赌金100元,并约定先胜三局者为胜, 取得全部 200 元.由于出现意外情况 ,在 A 胜 2 局 B 胜1 局时,不得不终止赌博, 如果要分赌金,该如何分配才算公平? 注:1654年,一个骑士就此问题求教于帕斯卡, 帕斯卡与费马通信讨论这一问题, 共同建立了概率论的第一个基本概念------数学期望 在已赌过的A 胜2局B 胜1局的基础上，若继续赌 A 胜 1/2 B 胜 1/2 A 胜 1/2 B 胜 1/2 A胜出的概率 1/2+1/2*1/2=3/4 在赌技相同的情况下, A, B 最终获胜的可能性大小 之比为 即A 应获得赌金的 而 B 只能获得赌金的 因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值, 等于 X 的可能值与其概率之积的累加. 即为 设随机变量 X 为继续赌A 最终所得的赌金. 则X 所取可能值为: 其概率分别为: 一、离散型随机变量的数学期望 数学期望又可以称为期望，均值。 例 投资理财决策 某人现有10万元现金进行为期一年的投资，现有2种投资方案：一是购买股票，二是存入银行获利息。 若买股票，则一年收益主要取决于全年经济形式好（概率30%）、中等（概率50%）、和差（概率20%）三种状态，形式好就能获利40000元，形式中等也能获利10000元，形式差就要损失20000元。若存入银行，则按8%的年利率获得利息8000元。 解 设 X 为投资利润，则 存入银行的利息: 故应选择股票投资. 例 某种产品每件表面上的疵点数服从参数为0.8的泊松分布，若规定疵点数不超过1个为一等品，价值10元；疵点数大于1个不多于4个为二等品，价值8元，疵点数超过4个为废品.求(1)产品的废品率；(2)产品价值的平均值. 二、连续型随机变量的数学期望 例 已知随机变量 在区间[a,b]上服从均匀分布，求 例 已知随机变量 的概率密度为 求 三、随机变量函数的数学期望 0 1 3 2 p 0.4 0.3 0.2 0.1 02 12 32 22 p 0.4 0.3 0.2 0.1 -1 1 5 3 p 0.4 0.3 0.2 0.1 例：对圆的直径作近似测量，其值均匀分布在区间 [a,b]上，求圆的面积的数学期望。 例 设随机变量X~E (1)，求 解 X的概率密度为 解 X的概率密度为 例 设风速X是一个随机变量，在[0,a]上服从均匀分布， 而飞机两翼上所受的压力Y与风速的平方成正比，即 ，求 例 国际市场每年对我国某种商品的需求量是随机变量