[理学]lecture_11组合博弈入门.ppt

ACM程序设计 杭州电子科技大学 刘春英 acm@hdu.edu.cn 今天， 你 了吗？ 每周一星（10）： 第十一讲 组合博弈入门 （Simple Game Theory） 导引游戏 (1) 玩家：2人； (2) 道具：23张扑克牌； (3) 规则： 游戏双方轮流取牌； 每人每次仅限于取1张、2张或3张牌； 扑克牌取光，则游戏结束； 最后取牌的一方为胜者。 基本思路？ 请陈述自己的观点 第一部分 简单取子游戏 什么是组合游戏—— 有两个玩家； 游戏的操作状态是一个有限的集合（比如：限定大小的棋盘）； 游戏双方轮流操作； 双方的每次操作必须符合游戏规定； 当一方不能将游戏继续进行的时候，游戏结束，同时，对方为获胜方； 无论如何操作，游戏总能在有限次操作后结束； 概念:必败点和必胜点(P点 N点) 必败点(P点) :前一个选手(Previous player)将取胜的位置称为必败点。 必胜点(N点) :下一个选手(Next player)将取胜的位置称为必胜点。 必败(必胜)点属性 (1) 所有终结点是必败点（P点）； (2) 从任何必胜点（N点）操作，至少有一种方法可以进入必败点（P点）； (3)无论如何操作， 从必败点（P点）都只能进入必胜点（N点）. 取子游戏算法实现—— 步骤1:将所有终结位置标记为必败点（P点）； 步骤2: 将所有一步操作能进入必败点（P点）的位置标记为必胜点（N点） 步骤3:如果从某个点开始的所有一步操作都只能进入必胜点（N点） ，则将该点标记为必败点（P点） ； 步骤4: 如果在步骤3未能找到新的必败（P点），则算法终止；否则，返回到步骤2。 课内练习: Subtraction Games: subtraction set S = {1, 3, 4} 实战练习… 第二部分 Nim游戏 Nim游戏简介 有两个玩家； 有三堆扑克牌（比如：可以分别是 5，7，9张）； 游戏双方轮流操作； 玩家的每次操作是选择其中某一堆牌，然后从中取走任意张； 最后一次取牌的一方为获胜方； 初步分析 (0, 0, 0) 引入概念：Nim-Sum 定义: 假设 (xm · · · x0)2 和(ym · · · y0)2 的nim-sum是(zm · · · z0)2,则我们表示成 (xm · · · x0)2 ⊕ (ym · · · y0)2 = (zm · · · z0)2, 这里，zk = xk + yk (mod 2)（k=0…m）. 定理一： 对于nim游戏的某个位置(x1,x2,x3),当且仅当它各部分的nim-sum等于0时（即x1⊕x2⊕x3=0），则当前位于必败点。 定理一的证明…… 思考（1）： 有了定理一，如果判断某个游戏的先手是输还是赢？ 思考（2）： 对于必胜点，如何判断有几种可行的操作方案？ 实例分析(HDOJ_1850) Being a Good Boy in Spring Festival 第三部分 Graph Games Sprague-Grundy Function What is the graph game ? (1) Player I moves first, starting at x0. (2) Players alternate moves. (3) At position x, the player whose turn it is to move chooses a position y ∈ F(x). (4) The player who is confronted with a terminal position at his turn, and thus cannot move, loses. Example about graph game: The Sprague-Grundy Function. Definition: The Sprague-Grundy function of a graph, (X,F), is a function, g, defined on X and taking non-negative integer values, such that g(x) =min{n ≥ 0 : ng(y) for y ∈ F(x)}. (1) In words, g(x) the smallest non-negative integer not found among the Sprague-Grundy values of the followers of x. g(x) =mex{g(y) : y ∈ F(x)}. (2) Use of the Sprague-Grund