司乃耳折射定律的推广与应用-国立彰化师范大学-科学HomeRun.PDF

物理教育學刊 41 司乃耳折射定律的推廣與應用 Chinese Physics Education 2007, 第八卷第一期, 41-48 2007, 8(1), 41-48 司乃耳折射定律的推廣與應用 陳俊霖 國立彰化師範大學 物理學系 （投稿日期：民國96 年 5 月 2 日，修訂日期：96 年 8 月 30 日，接受日期：96 年 9 月 13 日） 摘要 ：經過深入的探討，我們可以將彩虹形成的原因解釋得更為清楚，並利用司乃耳 折射定律發展出更為精確的一種測量折射率的新方法。另外，我們也利用司乃耳折射 定律避開變分法複雜的數學技巧，成功的解決積分的極值問題。在這篇論文中作者透 過新的看法與思路，將這些發生在日常生活中的物理現象看得更為透徹，而且其原理 分析起來也更為簡單。作者希望藉由這些分析方法的介紹，讓學生對於物理的學習變 為一件好玩又有趣的事情。 關鍵詞 ：司乃耳定律、彩虹成因、折射率 壹、前言 數學技巧過於艱深，很難讓一般的中學生甚 至大一的學生理解。有鑑於此，作者建議可 談到有關於彩虹形成的原因，在一般的 以運用司乃耳折射定律來取代變分法複雜的 教科書上都會寫著：在給定折射率 n 值的情 數學技巧，使得學過基礎微積分的學生都可 況下，取從水珠射出的光線與地平線夾角α 以輕易的處理積分極值的問題，於是就可以 的極大值即是彩虹形成的角度[1] ，不過卻沒 用這個簡單的方法解決最速落徑以及懸鏈線 有說明取極大值的意義何在？在本文中作者 等歷史上物理數學的難題。最後，我們可以 詳加說明了取極大值的有極重要的意義，當 將這個方法推廣到求解任意函數f = f (x)之積 α為極大值時，則從水珠射出的光線的強度 分極值問題。 必定為極大值，於是在α = 42°處形成了彩 虹。此外，利用司乃耳折射定律我們可以發 貳、彩虹形成的原因與數學的極大 展出更為精確的一種測量折射率的新方法。 (小)值之間的關係 其次，關於光在變折射率介質中的行進 軌跡 [2] ，我們如果想要完整的解出這個問 這一節的主要內容是將數學上極大(小) 題，則必須學習數學的變分法，但是其中的 值的概念引入光的折射現象中，進而解釋彩 42 陳俊霖 圖 1 ：光線在一小水珠中經過兩次折射與一次反射的情形 圖 2 ：α 與 d的函數關係圖 虹形成的原因。此外也可以利用射入水珠的 從圖 1 知 sind Rθ d ，R 為水珠之半 光線與從水珠射出的光線之間的夾角與折射 徑。於是從水珠射出的光線與地平線的夾角 率之間的關係，得到一種新的測量折射率的 為 方法。 圖 1 為光線在一小水珠中經過兩次折射