[理学]lry-概率论21.ppt

第二章 随机变量及其分布 关键词： 随机变量 概率分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量的函数 §1 随机变量 * 常见的两类试验结果： §2.1.2 随机变量的分布函数 由于 (a,b]=（-∞，b]-（-∞，a] 且（-∞，a] （-∞，b] P(aX≤b)=P(-∞X≤b)-P(-∞X≤a) 若已知（-∞，x]的概率P(-∞X≤x)则可计算P(aX≤b) §2.2 离散型随机变量 §2.2 .1 离散型随机变量及其分布列 例：给定离散型随机变量X的分布列如下： (1)验证此分布列满足分布列的两条基本性质； (2)求X的分布函数F(x) (3)作出F(x)的图形 (4)求P(0≤X≤3/2)，P(0≤X3/2),P(1X3/2) 例：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经 过3个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设 各灯为红灯的概率为p，0p1，以X表示首次 停车时所通过的交通灯数，求X的概率分布律。 例：从生产线上随机抽产品进行检测，设产品 的次品率为p，0p1，若查到一只次品就 得停机检修，设停机时已检测到X只产品， 试写出X的概率分布律。 三个主要的离散型随机变量 0－1(p) 分布 二项分布 例： 1. 独立重复地抛n次硬币，每次只有两个可能的结果： 正面，反面， 设A在n重贝努利试验中发生X次，则 并称X服从参数为p的二项分布，记 例（电力供应问题）有9位工人，间歇地使用电力，假设在任一时刻，每位工人都以同样的概率0.2需要一个单位的电力，并且各位工人工作（需要电力）相互独立，求最大可能有多少位工人同时需要供应一个单位的电力？ 解：X={任一时刻同时需要供应电力的工人数} X～B(n,p）=B（9,0.2) [(n+1)p]=[(9+1)×0.2]=2 最大可能有2个或1个工人同时需要供应一个单位的电力 例： 设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能有一个人处理。 考虑两种配备维修工人的方法， 其一是由4个人维护，每人负责20台； 其二是由3个人共同维护80台。 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。 例：某人骑了自行车从学校到火车站，一路上 要经过3个独立的交通灯，设各灯工作独 立，且设各灯为红灯的概率为p，0p1， 以Y表示一路上遇到红灯的次数。 (1)求Y的概率分布律； (2)求恰好遇到2次红灯的概率。 例：某人独立射击n次，设每次命中率为p， 0p1，设命中X次，(1) 求X的概率分布 律；(2) 求至少有一次命中的概率。 泊松分布(Poisson分布) 若随机变量X的概率分布律为 称X服从参数为λ的泊松分布，记 例： 解： §2.3连续型随机变量 §2.3.1连续型随机变量的定义 定义： 对于随机变量X的分布函数 若存在 非负的函数 使对于任意实数 有： 与物理学中的质量线密度的定义相类似 例：设X的概率密度为 (1)求常数c的值； (2) 写出X的概率分布函数； (3) 要使 求k的值。 解： 几个重要的连续量 均匀分布 定义：X具有概率密度 称X在区间(a,b)上服从均匀分布， 记为X～U(a,b) 例：在区间(-1,2)上随机取一数X，试写出X的概率 密度。并求 的值； 若在该区间上随机取10个数，求10个数中恰有 两个数大于0的概率。 指数分布 定义：设X的概率密度为 其中λ0为常数，则称X服从参数为λ的指数分布。记为 正态分布 定义：设X的概率密度为 其中 为常数，称X服从参数为 的正态分布(Gauss分布)， 记为 可以验算： 称μ为位置参数(决定对称轴位置) σ为尺度参数(决定曲线分散性) X的取值呈中间多，两头少，对称的特性。 当固定μ时，σ越大，曲线的峰越低，落在μ附近的概率越小，取值就越分散， ∴ σ是反映X的取值分散性的一个指标。 在自然现象和社会现象中，大量随机变量服从或近似服从正态分布。 例： 例：一批钢材(线材)长度 (1)若μ=100，σ=2，求这批钢材长度小于97.8cm 的概率；(2)若μ=100，要使这批钢材的长度至少 有90%落在区间(97,103