[理学]n阶方阵的行列式.ppt

定理１ 行列式的值等于其任一行(列)的各元素与其对应 的代数余子式乘积之和； 行列式的任一行(列)的各元素与另一行（列）相应元素 的代数余子式乘积之和等于零． 例1 计算 按第3行展开 求 例2 例３ 主对角线以及主对角线 以下元素全为１，其它元素全为零， 所有元素的代数余子式之和． （以前的考试题） 解： ＝０ 同理其它行的元素对应的代数余子式之和也为零 所以所有元素对应的代数余子式之为１ 范德蒙德(Vandermonde)行列式 例3 从最后一行开始,每行减去上一行的 倍. 按最后一列展开再提取每列的公因子 (1)按范德蒙行列式的结果求出 x3 的系数; (2)按最后一列展开求出 x3 的系数(与所求可能差符号) (3)比较二者应相等. 例４ 求 解：提示 例５ 计算下列n阶行列式 解: 按第一列展开 推论: 行列式中任一行(列)的元素与另一行(列)的对应 元素的代数余子式乘积之和为零,即: 证明： 第i行 第j行 =0 方阵的行列式 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 A 的行列式，记作 或 运算规律 设 A，B 均为 n 阶方阵 (性质８，行列式的乘法定理) 问： 对（３）举例说明 设 则： 思考： 如果 为奇数阶的反对称矩阵 ，则 设A是奇数阶方阵，且 证明 证 例16 设 求： 求 解： 例17 伴随矩阵 矩阵的转置矩阵 由 |A| 的各元素的代数余子式 所构成 称为 A 的伴随矩阵。 思考： 且有 （在下一节将起到很重要的作用） 设 解： 设A为ｎ阶方阵， ，证明： 证明: 设 例18 例19 学习重点：行列式的定义起源于解线性方程组，但解线性方程组后来被矩阵理论所代替，再也不用行列式来求解线性方程组了。行列式的价值主要体现在理论推导上，其中重要的有三大定理： (1) 行列式的展开定理; (2) 行列式的乘法定理;（性质８） (3) Cramer法则（第六节） 本节的学习重点是掌握行列式的计算。在计算方法上重点掌握化三角形法和递推法。对行列式的两个等价定义，只需有一个粗略的了解，对行列式的计算不要过分地追求计算技巧。 作业: 思考题: 1.A为10阶方阵, 则: 2.计算: 3.已知 满足: 求 4. 设 则 5. 设 则必有 发展简史：行列式起源于求解线性方程组。用行列式的方法解含有两个、三个和四个未知数的联立线性方程，可能是由Maclaurin在1729年开创的，并发表在他的遗作《代数论著》(1748)中。Vandermonder(1772)是第一个对行列式理论作出连贯的逻辑阐述的人，他给出了一条法则，用二阶子式和它们的余子式来展开行列式。Laplace参照Cramer和Bezout的工作，在1772年的论文《对积分和世界体系的探讨》中，证明了Vandermonder的一些规则，并推广了他的展开行列式的方法，现称为Laplace定理(行列式展开定理是其特殊情况)。行列式这个词是Cauchy在18世纪的著作中首先使用的，把元素排成方阵并采用双重足标的记法也是属于他的，而采用两竖线是Cayley在1841年引进的。 第二章 矩阵理论基础 §2.5 矩阵分块法 §2.3 可逆矩阵 §2.2 n阶(方阵的)行列式 §2.1 矩阵的运算 §2.4 矩阵的秩与矩阵的等价标准形 §2.6 线性方程组解的存在性定理.CRAMER法则 §2.2 n阶(方阵的)行列式 主要内容: 一、行列式的定义 二、行列式的性质 三、行列式的展开定理 上两式相加求得(设分母不为零) 同理可求得 用消元法求解 引例: 一、行列式的定义 定义二阶行列式: 则 如何工整简单便于记忆地表示这两个解? 三阶行列式 按某种运算规则得到的一个数记为 定义 设由9个数排成的3行3列的数表 说明: 共3!=6项,正负项各占半,每项均为三个元素乘积 (不同行不同列) 例２求多项式 解： 问空间解析中的三个向量 是否共面？ 由高等数学,三个向量共面的充要条件是混合积为零。 所以它们不共面，即异面。 例３ 把二阶行列式与三阶行列式加以推广得 应有 不同列元素的乘积． 定义1 设有 排成 作出不同行不同列的 并冠以符号 称为 定义： 剩下的元素按原次序排成的 例如： 定义2 设方阵 1) 2) 即方阵的行列式等于第一行元素与其对应的 代数余子式乘积的和． 例如求二阶，三阶行列式 例１ 证明对角行列式 （其中主对角线上的元素不全为零 而其他元素全为零的行列式） 证明： 证明下三角行列式 例２ 证明： 二、行