[理学]SARS传播的数学模型.ppt

SARS传播的数学模型 设计人：高晶晶 张 琳 郑 博 1　问题描述 SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：SARS型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病 。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。 1、 对早期模型，评价其合理性和实用性。 2、建立自己的模型，特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？ 3、收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。 2　基本假设 1)　假设所考查人群的总数恒定，且无病源的输入和输出。 2)　将所考查人群分为现有病人、治愈者、死亡者、正常人四类。 3)　假设已治愈的患者二度感染的概率为0，即患者具有免疫能力，不考虑其再感染。 4)　假设所有患者均为“他人输入型”患者，即不考虑人群个体自身发病。 5)　假设各类人群在人群总体中分布均匀。 6)　假设已被隔离的人群之间不会发生交叉感染。 7) 不考虑隐性SARS患者，即只要感染上SARS病毒的患者最终都会表现出症状. 3　符号说明 X(t):现有病人数 Y(t):累计病人数 R(t):累计治愈人数 D(t):累计死亡人数 T:采取强制措施的时间 L1:病人的死亡率 L2:病人的治愈率 P:采取控制措施后的隔离强度 R(t):未被隔离的病人平均每人每天感染的人数 4　问题的分析 把人群分为四类：正常人群、患病人群、治愈人类和死亡人群，分别用H(t)、X(t)、R(t)和D(t)表示。 在SARS爆发初期，由于整个社会对SARS病毒传播的速度和危害程度认识不够，政府和公众对之不予重视，没有采取任何有效的隔离控制措施。当疫情蔓延到4月20号，政府与社会开始采取强制措施，对SARS进行预防和控制。 因此SARS的传播规律可分为“控前”和“控后”两个阶段 各类人的转化关系 控前模型为近似于自然传播时的S-I-R模型，控后模型为介入隔离强度后的微分方程模型，两个模型中各类人的转化关系如图 5 模型的建立 控前 现有病人数 假设某地区产生第一例SARS病人的时间为T0，在（T0,T）时段，是近乎于自由传播的时段，隔离强度为0，每个病人每天感染人数为一常数。 考察(t, △t)时段内现有病人数的变化，应该等于△t时间段新增的病人数减去死亡和治愈的人数。 现有病人数的变化＝新增病人数－(死亡人数＋治愈人数)。我们设r为每个未被隔离的病人每天感染的人数，L1和L2分别为治愈率和死亡率。则有 于是有 当△t→0时， 累计死亡人数 死亡累计人数的变化＝新增死亡人数 当△t→0时 累计治愈人数 治愈累计人数的变化＝新增治愈人数。 累计病人数 累计病人数＝现有病人数＋累计死亡人数＋累计治愈人数 SARS传播的控前模型 初始值 控后模型 控后隔离强度从控前的0变为 p。未被隔离的病人平均每人每天感染的人数r随时间逐渐变化，它从初始的最大值a+b逐渐减小至最小值a。设每个未被隔离的病人每天感染的人数 其中，用来反映r(t)的变化快慢，可以用附件中的数据估计出它的大小。 类似于控前模型的分析，我们来考虑在t到t+ △ t时段内各类人群的变化情况。 现有病人数 现有病人数的变化＝新增病人数－(死亡人数＋治愈人数)。与控前模型一样，用和表示治愈率和死亡率。则有 于是有 当△t→0时， 累计死亡人数 △ t时间内死亡累计人数的变化等于新增死亡人数。 当△t→0时 累计治愈人数 治愈累计人数的变化＝新增治愈人数。 累计病人数 累计病人数＝现有病人数＋累计死亡人数＋累计治愈人数 SARS传播的控后模型 初始值X(T)取控前模型的最后一个值。 * 近乎自然的传播模式 控 制 后 政府控制后的传播模式 控 制 前 新增病人 现有病人 死亡和治愈病人 6.模型的求解： 6.1　控前模型的求解 对于现有病人数，我们可以根据SARS传播的控前方程(5.8)，求得它的解析解为