[理学]Taylor公式与科学计算.ppt

数学大观Taylor公式与科学计算 Taylor公式与科学计算 (1)Taylor公式微积分顶峰 (2)计算机如何实现导数的计算 (3)数值计算精度分析 (4)计算机实现导数计算存在的问题 (5) Taylor公式解决问题 (6)李查逊外推（Richardson） 　 (７)李查逊外推应用 　 (８)思考题 Taylor公式：微分学顶峰 应用举例１：用多项式逼近函数 应用举例１：用多项式逼近函数 应用举例１：用多项式逼近函数 应用举例１：用多项式逼近函数 应用举例２：罗必达法则 发明罗必达法则 求极限 If 分子分母是多项式: 享受幸运!约分! Else,创造幸运: 化成多项式(凌波微步)再约分! 导数的数学定义与数值计算 导数的数学定义 计算机实现导数的计算 数值计算精度分析 计算精度分析 计算实例 计算实例与存在的问题 数值运算误差的初步分析 定义：假设 为整数， 如果 则称 有n位有效数字。 数值运算误差的初步分析 数值运算误差的初步分析 数值运算误差的初步分析 Taylor公式解决问题 Taylor公式解决问题 Taylor公式解决问题 Taylor公式与导数计算 Taylor公式解决问题 计算 的一阶导数值， 实验结果如下： 李查逊外推（Richardson） 李查逊外推（Richardson） 假设 逼近 有渐进展开的形式： 外推法和割圆术 外推法和割圆术 外推法和割圆术 外推法和割圆术 外推法和割圆术 外推法和割圆术 外推法和割圆术 外推法和割圆术 外推法和割圆术 进一步思考 (1) 有效控制舍入误差是科学计算面临一个重要的研究课题（复杂计算过程中舍入误差的传播） (2) Taylor在科学计算中是构造高精度计算方法的重要工具（数值积分外推，有限元外推计算等） 作业 (１)设计计算圆周率的外推公式并实现 (２)设计二阶导数计算的外推公式并实现 科学计算研究的意义 科学计算的兴起是20世纪后半叶最重要的科技进步之一。 计算与理论及实验相并列，已经成为当今世界科学活动的第三种手段。 科学计算正在向大规模和高性能发展，要达到“全物理、全系统、三维、高分辨、高逼真”的数值模拟，研究高效的计算方法至关重要。 大规模计算提出的世界性难题已形成科学计算的学科前沿。 求解由实际问题得到的复杂的偏微分方程不仅计算规模大，更由于非线性、多尺度、长时间、不适定、多区域、高病态等特点使计算格外困难。 本讲将通过导数的数值计算，详细阐述Taylor公式在科学计算中的作用。使得学生对科学计算有初步认识，拓展学生的知识面。 数值运算误差的初步分析 用计算机表示任何数字只能是有限位，计算机实现任何运算都会有舍入误差，在科学计算中必须充分重视舍入误差对计算结果的影响，这也是科学计算重要而十分艰难的重要研究课题。 因此在计算机计算的过程中应该避免两个相近数字的减法运算。任何一个工程或者科学问题，其数值计算的次数是巨大和海量的，我们必须设计有效的算法控制舍入误差的传播。 数学实验: 多项式逼近 sin(x) * * 函数用常数（极限代替），误差是无穷小． 函数用一次多项式逼近，产生的误差是高阶无穷小． 三角函数表哪里来？ Ｔaylor 公式 计算机无法 实现无限次计算 解决问题办法是近似计算， 有限次逼近无限次运算 无穷小阶描述数学问 题重要工具，不需要 精确数学表达式，仅 需要对整体有个估计 h越小，近似计 算的精度越高 -0.146447 0.3000 0.0002 0.053553 0.3000 0.001 0.003553 0.3500 0.002 0.003553 0.3500 0.01 -0.001447 0.3550 0.02 0.000553 0.3530 0.1 0.000053 0.3535 0.2 -0.002847 0.3564 1 -0.012447 0.3360 2 逼近误差 逼近值 　　h 注意到一个现象： (1) 从表中看出 h=0.2时候计 算效果最佳 (2) 取得比 h=0.2 小时计算的效果越来越差 实验结果与数学分析 结论完全不一致！ 透过现象看本质！