[理学]§93 全微分与Taylor公式.ppt

由微分定义 : 多元函数连续、可导、可微的关系： 三、微分法则与全微分形式不变性 解: 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数. 4. 设 解法2 微分法. * *四、全微分在近似计算中的应用 一、全微分的定义 §9.3 全微分与Taylor公式 二、可微的条件 三、微分法则与全微分形式不变性 *五、二元函数的泰勒公式 一、全微分的定义 定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 可表示成 其中 A , B 不依赖于? x , ? y , 仅与 x , y 有关， 称为函数 在点 (x, y) 的全微分, 记作 若函数在域 D 内各点都可微, 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， 处全增量 则称此函数在D 内可微. (2) 偏导数连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: (1) 函数可微 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 得 函数在该点连续 偏导数存在 函数可微 即 定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 , 则该函数在该点偏导数 同样可证 证: 由全增量公式 必存在,且有 得到对 x 的偏增量 因此有 二、可微的条件 反例: 函数 易知 但 因此,函数在点 (0,0) 不可微 . 注意: 定理1 的逆定理不成立 . 偏导数存在函数 不一定可微 ! 即: 定理2 (充分条件) 证： 若函数 的偏导数 则函数在该点可微分. 所以函数 在点 可微. 注意到 , 故有 函数可微 函数连续 偏导数连续 偏导存在 推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题. 例如, 三元函数 习惯上把自变量的增量用微分表示, 记作 故有下述叠加原理 称为偏微分. 的全微分为 于是 例1. 计算函数 在点 (2,1) 处的全微分. 解: 例2. 计算函数 的全微分. 解: 微分法则： 全微分形式不变性 全微分形式不变性 设函数 的全微分为 可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 则复合函数 都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性. 解： 利用全微分形式不变性解题 例4. 设F( x , y)具有连续偏导数, 解法1 利用偏导数公式. 确定的隐函数, 则 已知方程 故 对方程两边求微分: 解法2 微分法. 由d y, d z 的系数即可得 例5. 设 求 内容小结： 1. 微分定义: 2. 重要关系: 函数可导 函数可微 偏导数连续 函数连续 3. 全微分形式不变性： 练习题 函数 在 可微的充分条件是( ) 的某邻域内存在 ; 时是无穷小量 ; 时是无穷小量 . 1. 选择题 在点 (0,0) 可微 . 在点 (0,0) 连续且偏导数存在, 续, 证: 1) 因 故函数在点 (0, 0) 连续 ; 但偏导数在点 (0,0) 不连 2. 证明函数 所以 同理 极限不存在 , 在点(0,0)不连续 ; 同理 , 在点(0,0)也不连续. 2) 3) 4) 下面证明 可微 : 说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件. 令 则 分别由下列两式确定 : 又函数 有连续的一阶偏导数 , 3. 设 解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得 (2001考研) 解得 因此 是由方程 和 所确定的函数 , 求 解法1 分别在各方程两端对 x 求导, 得 (99考研) 对各方程两边分别求微分: 化简得 消去 可得 可知当 *四、全微分在近似计算中的应用 由全微分定义 较小时, 及 有近似等式: (可用于近似计算; 误差分析) (可用于近似计算) * *