[理学]三_已知平行截面面积函数的立体体积.ppt

第二节 一、平面图形的面积 例1. 计算两条抛物线 例2. 计算抛物线 例3. 求椭圆 一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 例4. 求由摆线 2. 极坐标情形 例5. 计算阿基米德螺线 例6. 计算心形线 心形线(外摆线的一种) 例7. 计算心形线 例8. 求双纽线 二、平面曲线的弧长 (1) 曲线弧由直角坐标方程给出: (2) 曲线弧由参数方程给出: (3) 曲线弧由极坐标方程给出: 例9. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量, 例10. 求连续曲线段 例11. 计算摆线 例12. 求阿基米德螺线 三、已知平行截面面积函数的立体体积 特别 , 当考虑连续曲线段 例13. 计算由椭圆 方法2 利用椭圆参数方程 例14. 计算摆线 绕 y 轴旋转而成的体积为 说明: 例15. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 例16. 计算由曲面 内容小结 3. 已知平行截面面面积函数的立体体积 此时截面面积函数是什么 ? 如何用定积分表示体积 ? 提示: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 垂直 x 轴的截面是椭圆 所围立体(椭球体) 解: 它的面积为 因此椭球体体积为 特别当 a = b = c 时就是球体体积 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的体积. 1. 平面图形的面积 边界方程 参数方程 极坐标方程 2. 平面曲线的弧长 曲线方程 参数方程方程 极坐标方程 弧微分: 直角坐标方程 上下限按顺时针方向确定 直角坐标方程 注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 三、已知平行截面面积函数的 立体体积 一、 平面图形的面积 二、 平面曲线的弧长 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分在几何学上的应用 第六章 1. 直角坐标情形 设曲线 与直线 及 x 轴所围曲 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 边梯形面积为 A , 右下图所示图形面积为 在第一象限所围 图形的面积 . 解: 由 得交点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 与直线 的面积 . 解: 由 得交点 所围图形 为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 利用对称性 , 所围图形的面积 . 有 利用椭圆的参数方程 应用定积分换元法得 当 a = b 时得圆面积公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值 则曲边梯形面积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 . 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求由曲线 及 围成的曲边扇形的面积 . 在区间 上任取小区间 则对应该小区间上曲边扇形面积近似值(小元素)为 所求曲边扇形的面积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应 ? 从 0 变 解: 点击图片任意处 播放开始或暂停 机动 目录 上页 下页 返回 结束 到 2? 所围图形面积 . 所围图形的 面积 . 解: (利用对称性) 心形线 目录 上页 下页 返回 结束 即 点击图中任意点 动画开始或暂停 尖点: 面积: 弧长: 参数的几何意义 与圆 所围图形的面积 . 解: 利用对称性 , 所求面积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 所围图形面积 . 解: 利用对称性 , 则所求面积为 思考: 用定积分表示该双纽线与圆 所围公共部分的面积 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案: 定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大 边长 ?→0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即 并称此曲线弧为可求长的. 定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的. (证明略) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称 弧长元素(弧微分) : 因此所求弧长 (P168) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 弧长元素(弧微分) : 因此所求弧长 机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此所求弧长 则得 弧长元素(弧微分) : (自己验证) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 成悬链线 . 求这一段弧长 . 解: 机动 目录 上页