[理学]哈工大线数习题答案.doc

习 题 一 1．按自然数从小到大的自然次序，求解各题. (1) 求至的全排列的逆序数. 解：. (2) 求至的全排列的逆序数. 解：. (3) 选择与，使由至的排列，成偶排列. 解：由是从1至9的排列，所以只能取或. 当时，，是偶排列. 当时，是奇排列，不合题意舍去. (4) 选择与，使由至的排列成奇排列. 解：由是从至的排列，所以只能取或. 当时，，是奇排列. 当时，，是偶排列，不合题意舍去. 2．计算下列行列式 (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 解：(1) . (2) . (3) . (4) . 3．已知，利用行列式性质求下列行列式. (1) ； (2) . 解：(1) . (2) . 4．用行列式定义计算： (1) ； (2) . 解：(1) . (2) 5．用行列式的定义证明： (1) ； (2) . 证：(1) 假设有，由已知必等于或，从而中至少有两个相等，这与是的一个全排列矛盾，故所有项，因此. (2) ，由已知，只有当取或时，，而是的一个全排列，故取或，于是 从而 6．计算 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) . 解：(1) . (2) . (3) . (4) . (5) . (6) . 7．证明 (1) 证： (2) 证：等式左端 (3) 证：等式左端 等式右端. 8．解关于未知数的方程 (1) 解： 所以 (2) 解： 因，所以. 9．设，求下列行列式： (1) ； (2) ； (3) ，其中“”是对的所有全排列取和，. 解：（1）经行的交换得 原式 . (2) 与(1)类似，经列的交换得 原式. (3) 经列的交换，得 故原式. 10．计算行列式 (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 解：(1) . (2) 将前4行依次加到第5行，再按第5行展开得 原式 (3) . (4) 按最后一行展开得 11．计算行列式 (1) ； (2) 解：(1) 依次将第列加到第1列得 原式 (2) 依次将第行加到第1行得 原式 12．计算行列式 (1) ； (2) (3) ； (4) 解：（1）依次将第行乘加到第行得 原式 (2) 依次将第行乘加到第行得 原式 (3) 按最后一列展开得 原式