[理学]复变21.ppt

三、解析函数 定理 思考：设f (z), g(z)是整函数,下列命题哪些是正确的？ f (z)g(z)是整函数 f (z)/g(z)是整函数 f 3 (z) 是整函数 f (g(z))是整函数 4f (z)+ig(z)是整函数 f (1/z)是整函数 四、解析的充分必要条件 定理一 柯西介绍 黎曼介绍 证 (1) 必要性. (2) 充分性. 由于 * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一节 解析函数 一、复变函数的概念 二、复变函数的极限与连续 三、解析函数 四、小结与思考 一、复变函数的概念 1.复变函数: 2.单(多)值函数的定义: 3.定义集合和函数值集合: 4. 复变函数与自变量之间的关系: 例如, 例1 求函数 在闭单位圆盘|z|?1上的值域. 解 因为f (z)对应的两个二元实变函数为 当 z 在闭单位圆盘|z|?1上变化时， u 在0与1之间变化， v 为常数2. 因此值域为w =2i到 w =1+2i 之间的线段. 5. 映射 映射的定义: 两个映射的实例: 根据复数的乘法公式可知, (如下页图) 将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形. 以原点为焦点,开口向左的抛物线.(图中红色曲线) 以原点为焦点,开口向右的抛物线.(图中蓝色曲线) 6. 反函数的定义: 二、函数的极限与连续 1.函数极限的定义: 注意: 2. 极限计算的定理 定理一 说明 定理二 与实变函数的极限运算法则类似. 2. 函数连续的定义: 定理三 例如, 定理四 注意： 对任意的M 0, 存在 N, 使得 nN 时，|zn|M. 对任意的M 0, 存在δ, 使得 |z-z0| δ时，|f(z)|M. 1.导数的定义: 在定义中应注意: 例２ 解 例３ 解 （C）等于 0 练习： （A）等于 （B）等于 （D）不存在 2. 可导与连续: 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导. ３. 解析函数的定义 4. 奇点的定义 根据定义可知: 函数在区域内解析与在区域内可导是等价的. 但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念. 即函数在一点处可导, 不一定在该点处解析. 函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多. 函数f (z) 在点 z 可导是f (z) 在点 z 解析的 ( ) （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分条件也非必要条件 练习 B * 机动 目录 上页 下页 返回 结束