[理学]复变函数2-3new.pdf

第三节 调和函数 一、调和函数的定义 二、解析函数与调和函数的关系 三、小结与思考 一、调和函数的定义 定义 如果二元实变函数(x , y ) 在区域D 内具 有二阶连续偏导数, 并且满足拉普拉斯方程 2 2   2  2 0, x y 那末称(x , y ) 为区域D 内的调和函数. 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中有很重要的应用. 2 二、解析函数与调和函数的关系 1. 两者的关系 D——区域 定理1 u( x, y), v( x, y) f (z ) u (x ,y ) iv (x ,y ) 为D 内的调和函数. 在D 内解析 ? 证 设w f (z) u iv 为D 内的一个解析函数, u v u v 那末 ,  . x y y x 2 2 2 2  u  v  u  v 从而 2 , 2  . x y x y xy 3 根据解析函数高阶导数定理, 2 2  v  v u 与v 具有任意阶的连续偏导数, , y x xy 2 2 2 2  u  u  v  v 从而 x 2 y 2 0, 同理 x 2 y 2 0, 因此u 与v 都是调和函数. [证毕]  2 2  u  u 反例： u x  2  2 0  x y f (z ) z x iy  2 2