[理学]复变函数与积分变换.ppt

《复变函数与积分变换》Complex Analysis and Integral Transforms 朱传喜等编 江西高校出版社 南昌大学数学系　曹红哲 E-mail:hongzhecao@126.com 设z=re iθ，由复数的乘法定理和数学归纳法可证 明 zn=rn(cos nθ+isin nθ)=rn einθ。 2.复数的乘幂 定义 n个相同的复数z 的乘积，称为z 的n次幂， 记作z n，即z n=z?z???z（共n个）。 定义 特别：当|z|=1时，即：zn=cosnθ+isin nθ，则有 (cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ 一棣模佛(De Moivre)公式。 问题 给定复数z=re i ?，求所有的满足ωn=z 的 复数ω。 3.复数的方根 （开方）——乘方的逆运算 当z≠0时，有n个不同的ω值与 相对应，每一 个这样的ω值都称为z 的n次方根， 当k=0，1，…，n-1时，可得n个不同的根， 而k取其它整数时，这些根又会重复出现。 几何上， 的n个值是 以原点为中心， 为半 径的圆周上n个等分点， 即它们是内接于该圆周 的正n边形的n个顶点。 x y o 1. 区域的概念 邻域 复平面上以 z 0为中心，任意δ 0为半径的圆 | z -z 0|δ(或 0 | z –z 0|δ) 内部的点 的集合称为点 z 0 的δ（去心）邻域 。 记为Ｕ(z0 ,δ) 即， 设G是一平面上点集 内点 对任意z0属于G，若存在Ｕ(z 0 ,δ)， 使该邻 　　域内的所有点都属于G，则称z 0是G的内点。 § 1.4 复平面上的点集 开集 若G内的每一点都是 内点，则称G是开集。 连通是指 区域 设 D是一个开集， 且D是连通的，称 D是一个区域。 D-区域 边界与边界点 已知点P不属于D，若点P的任何 邻域中都包含D中的点及不属于D的点，则称P是 D的边界点； 内点 外点 D的所有边界点组成D的边界。 P 有界区域与无界区域 若存在 R 0, 对任意 z ∈D, 均有 z∈G={z | |z|R}，则D是有界区域；否则无界。 闭区域 区域D与它的边界一起构成闭区域, 2. 简单曲线（或Jardan曲线) 令z(t)=x(t)+iy(t) a≤t≤b ; 则曲线方程可记为：z=z(t)， a≤t≤b 有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线。 重点 设连续曲线C：z=z(t)，a≤t≤b， 对于t1∈(a，b), t2 ∈[a, b],当t1≠t2时，若z(t1)=z(t2)， 称z(t1)为曲线C的重点。 定义 称没有重点的连续曲线C为简单曲线或 Jardan曲线;若简单曲线C 满足z(a)=z(b)时，则称此曲线C是简单闭曲线或Jordan闭曲线 。 z(a)=z(b) 简单闭曲线 z(t1)=z(t2) 不是简单闭曲线 3. 单连通域与多连通域 简单闭曲线的性质 任一条简单闭曲线 C：z=z(t)， t∈[a，b]，把复 平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有 界区域，称为C的内部；一个是无界区域，称为 C的外部；还有一个是它们的公共边界。 z(a)=z(b) C z(a)=z(b) 内部 外部 边界 定义 复平面上的一个区域 B ， 如果B内的任何简单闭曲线的 内部总在B内，就称 B为单连通 域；非单连通域称为多连通域。 例如 |z|R（R0）是单连通的； 0≤r|z|≤R是多连通的。 单连通域 多连通域 多连通域 单连通域 1. 复变函数的定义 —与实变函数定义相类似 定义 §1.5 复变函数 * * 复数的诞生 先从二次方程谈起:　公元前400年，巴比伦人发现和使用 则当　　　　　　　　　时无解，当　　　　　　　　　时有解． 二千多年没有进展：寻找三次方程 的一般根式解． G. Cardano (1501-1576) : ＂怪才＂，精通数学，医学，语言学，文学，占星学．他发现 没有根，形式地表为 L.Euler(1707-1783): 瑞典数学家,13岁入大学，17岁获硕士,30岁右眼失明，60岁完全失明． 1748年：Euler公式