[理学]场论与张量基础.ppt

绪论 流体力学发展简史 流体力学现象 流体力学问题 流体力学计算实例 流体力学的应用 2. 场的几何表示： 用几何方法表示一个场有助于直观理解问题，并具有实 用意义。 矢量线：即为该线上的每一点的切线方向与该点的矢量方向重合的极限曲线。 等位面：对任意一固定时刻，与场对应的函数值相等的曲面称之为等位面。 矢量管：在场内取任一非矢量线的封闭曲线 ，通过 上每一点作矢量线，则这些矢量线所包围的区域称为矢量管。 ◆标量场的几何表示： 取任一固定时刻 研究场 的几何表示，取一系列不同的 值我们得到空间中一组与之对应的等位面，我们可以从等位面的的相互位置和疏密程度来描述标量场的变化状况。 ◆矢量场的几何表示： 矢量的大小可以用上述等位面的概念来表示，至于矢量的方向则采用矢量线来表示。 6.无源场及其性质 的矢量场称为无源场或称管式场。其具有以下几个主要性质： (1)无源矢量 经过矢量管任一横截面上的通量保持不变。 (2)矢量管不能在场内发生或终止。一般来说它只能伸至无穷，靠在区域的边界上或自成封闭管路。 (3)无源矢量 经过张于一已知周线 的所有曲面 上的通量均相同，亦即此通量只依赖于周线 而与所张曲面 的形状无关。 8.无旋场及其性质 的矢量场称为无旋场。 无旋场最重要的性质是无旋场和位势场的等价性。 即若 是位势场，则 必为无旋场。 反之，若矢量 是无旋场，则 必为位势场。 （4）置换符号定义为 例如： （5）恒等式 1. 场的定义： 设在空间中的某个区域内定义标量函数或矢量函数，则称定义在此空间区域内的函数为场。 标量场： 矢量场： 均匀场： 定常场： 第一节 场论 场的定义 第一节 场论 场的几何表示 第一节 场论 场的几何表示 3. 方向导数与梯度 在场内任取一点 ，过 点作曲线 ， 是在 上与 无限邻近的点，函数 在 上沿 变化，则称 为函数在 点上沿曲线 方向的方向导数。 第一节 场论 方向导数与梯度 过 、 作等位面， 为 点法线方向， 、 无限接近 ，由 可得： 大小为 ，方向为 的矢量称为函数 的梯度。表示为： 第一节 场论 方向导数与梯度 4.梯度及其主要性质 （1）梯度描写了场内任一点 邻域内函数的变化状况，它是标量场不均匀性的量度； （2）梯度的方向与等位面的法线重合，且指向函数增长的方向，大小是 方向上的方向导数 ； （3）梯度矢量在任一方向 上的投影等于该方向的方向导数； 第一节 场论 方向导数与梯度 （4）梯度的方向，即等位面的法线方向是函数变化最快的方向。即： （5）梯度在直角坐标系中的表达式为： 第一节 场论 方向导数与梯度 令在场内任取一点 ，以体积 包围之，若 的界面为 ，作矢量 通过 面的通量，并存在极限 则称之为矢量 在 点的散度，其数学表达式为 5. 通量与散度 第一节 场论 通量与散度 第一节 场论 通量与散度 则定义其为矢量 在 点旋度，其数学表达式为： 若在场内围绕 点任取一封闭周线 ， 为张于 上的任一曲面，并且下列极限存在 7. 环量与旋度 第一节 场论 环量与旋度 第一节 场论 环量与旋度 9. 哈密顿算子 第一节 场论 哈密顿算子 哈密顿算子是矢量分析中一个非常重要的微分算子，它是一个具有矢量和微分双重性质的符号，其表达式为： 第一章 场论与张量初步 §1.场论 场的定义、几何表示，方向导数与梯度、通量与散度、环量与旋度。 §2.张量初步 张量定义、表示方法、性质及其运算。 第二节 张量 张量的定义 1. 张量的定义 张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广，标量是零阶张量，矢量是一阶张量，矩阵是二阶张量，而三阶张量则好比是立体矩阵。 　 在笛卡尔直角坐标系中定义的张量称为笛卡尔张量，而在任意曲线坐标系中定义的张量称为普遍张量。本章只限于研究笛卡尔张量。 如果对每一个直角坐标系 来说，有九个量 按下列公式 转化为另一个坐标系 中的九个量 ，则此九个量定义一新的量 ，称之为二阶笛卡尔张量。 第二节 张量 张量的定义 设