[理学]大一微积分考前复习2.ppt

第二章 极限与连续 3 熟练掌握极限的四则运算法则 熟练掌握极限存在的准则.  5、熟练掌握重要极限 6、熟练掌握求极限的方法 9. 理解无穷小的阶的概念，会比较无穷小的阶. 一些常见的等价无穷小量 例2、求下列各极限?  例3、 例4、 例5、选择题 十、函数在一点连续的定义； 十一．初等函数的连续性 (1) 、连续函数经过有限次四则运算后得到的函数仍为连续函数． (2) 、连续函数经过有限次复合运算后得到的复合函数仍为连续函数． (3) 、严格单调的连续函数的反函数仍为严格单调的连续函数． (4) 、基本初等函数在其定义域内连续． (5) 、一切初等函数在其定义区间内都连续。 十二．闭区间上连续函数的性质 例6、 例7、函数 在其定义域内是否连续？  例8、 例9、 例10、 例11、 例12、 例13、选择题 在闭区间 上连续，则 (1)有界性定理：若函数 它在 上有界． (2)最大值和最小值定理：若函数 在闭区间 上连 续，则它在 上必能取得最大值和最小值． (3)介值定理：若函数 在闭区间 上连续，则它必 取得介于端点函数值f（a）与f（b）之间的一切值C. (4)根的存在定理：若函数 在闭区间 上连续，且 ，则方程 在（a,b）内至少 。 有一个实根 证明下列函数y?3x2?1在(??? ??)内是连续函数。 从而y?3x2?1在(??? ??)内是连续函数? 解 因为 所以y? 3x2?1在(??? ??)内任意点处都连续? 解 、函数的定义域为[?3, 3]?因为f(?1)?|?1|?1? 而 所以函数在x??1处不连续?因此函数在定义域内不连续? 解 因为 所以令f(0)?1能使f(x)在点x?0处连续? 给f(0)补充定义一个什么数值? 能使 在点x?0处连续？ 设 问当k为何值时? 函数f(x)在其定义域内连续？ 解 因为函数在区间(??, 0)和(0, ??)内是连续， 所以当k?1时? 函数f(x)在其定义域内连续? 又在x?0处? f(0)?k? f(0?0)?f(0?0)?1， 设 解 因为函数在区间(??, 0)和(0, ??)内是连续， 所以函数f(x)在x?0处是连续的? 问当k为值时? 函数f(x)在其定义域内连续？ 所以当k?2时? 函数f(x)在其定义域内连续? 又当k?2时? f(0)?2? 并有 证明 方程y?x4?3x2?7x?10在(1? 2)内至少有一个实根? 证明 设f(x) ?x4?3x2?7x?10? 则f(x)是闭区间[1? 2]上的连续 函数，且 f(1)??5?0? f(2)?18?0。根的存在定理知? 至少有 一点x?(1? 2)使f(x)?0?即方程y?x4?3x2?7x?10在(1? 2)内至少有一个实根? * * 1、正确理解数列极限与函数极限的定义，能用定义证明简单函数的极限. 2. 熟练掌握极限存在的充要条件，会用充要条件判定分段函数在分段点的极限的存在性. 证明 因为 所以 不存在? 例1、证明? 不存在? 设 则有 (2) (3) (4) (1) 准则I 设函数f(x)，g(x)，h(x)在点x0的某空心邻域内满足条件 （1） g(x)≤f(x)≤h(x) （2） 则有 准则II 单调有界数列必有极限. (1) 用四则运算法则求极限. (2) 用“适当变型法”求极限. (3) 用重要极限求极限. (4) 用无穷小量的性质求极限. (5) 用极限存在的充要条件来确定分段函数在分段点处的极限. 7. 理解无穷小量与无穷大量的定义。 (1) 以零为极限的变量叫做无穷小量. (2) 绝对值可以无限增大的变量叫做无限大量. 8.熟记无穷小的性质，熟练掌握用性质求极限的方法. 性质1 有限个无穷小量的和是无穷小量. 性质2 有限个无穷小量的乘积是无穷小量. 性质3 有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量. 设f(x)和g(x)为同一变化过程中的无穷小量， (1)如果0K＋∞，则称f(x)和g(x)为此变化过程中的同阶无穷小量； (2)如果K＝0，则在此变化过程中，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小量，简称f(x)是g(x)的高阶无穷小量，记作f(x)＝o(g(x))； (3)如果K＝∞，则