[理学]大一高数复习PPT.ppt

总复习 一、求极限的方法及举例 三、计算不定积分的方法 5、常用的公式 四、微分中值定理 五、导数的应用 六、定积分的应用 例1. 求极限 例2. 求下列极限 令 （4） (6) 思考与练习 5) 例3 已知 例4. 求 例6 求 练习1: 练习: 2. 例8. 确定函数 间断点的类型. 例9. 设 例10. 设 11. 设 12. 例13. 设 例5、 6. 求 例16. 求多项式 f (x) 使它满足方程 例17. 设 例19 例20 例21. 证明 例22. 已知 例23. 求 24. 求 25. 求下列积分 26、 思考与练习 例28. 求 例29. 求 例30 求 例31 求下列积分 例32 求 例36. 设非负函数 又 37. 思考与练习 1. 2. 提示: 令 则 3 解 解： 5： 解： 已知 求 解： 令 练习： （1） （2） 的导数 . 解: 两边取对数 , 化为隐式 两边对 x 求导 解: 令 则 代入原方程得 两边对 x 求导两次, 去掉积分号 由此可知 f (x) 应为二次多项式 , 设 代入 * * 式比较同次幂系数 , 得 故 在 内可导, 且 证明至少存在一点 使 上连续 , 在 证: 问题转化为证 设辅助函数 显然 在 [ 0 , 1 ] 上满足罗尔定理条件, 故至 使 即有 少存在一点 推广： 求证存在 使 设 可导，且 在 连续， 证： 因此至少存在 显然 在 上满足罗尔定理条件, 即 设辅助函数 使得 18.设函数 f (x) 在[a,b]上可导，且 试证在开区间(0,1)内至上存在一点 证： 设 在 上连续， 在 内可导， 其中 且 证在 内存在 ， 使 分析： 积分 令 设 在 上连续，在 内可 导，且 又 试证明方程： 在 内必有唯一的实根 证明： 由题意 满足拉氏定理 令 必有 （存在性） （唯一性） 则函数单减，故根唯一 故根存在 证: 设 , 则 故 时, 单调增加 , 从而 即 思考: 证明 时, 如何设 辅助函数? 练习 证明: 构造辅助 只要证明 求 A , B . 解: 等式两边对 x 求导, 得 解: 方法1 方法2 两法结果仅形式不一样 ! 提示: 法1. 法2. 法3. 令 则 解： 原式 = 27、 求 解： 原式 = 分部积分 1. 下列各题求积方法有何不同? 解: 原式 = 说明:上述方法为求有理函数积分的一般方法, 有时根据被积函数结构可寻求更简便的方法. 解: 原式 技巧 解: 令 比较同类项系数 , 故 ∴ 原式 说明: 此技巧也适于形为 的积分. 令 (1) (2) 提示: 原式 提示: 原式 (3) (4) 提示： 令 提示： 解：原式 = 分析： 与 以 为同期， 利用性质 偶 奇 * 祝大家考出 好成绩 赠2011级同学 二、一元函数微分学及其应用 三、一元函数积分法及其应用 一、研究函数连续 与极限的方法 （间断） 定积分与不定积分 导数、 中值定理 导数应用、 函数 极限 连续 研究对象 研究桥梁 研究工具 一个基本概念、两个应用、三个基本运算 (1) 利用定义式验证极限 (2) 利用极限存在准则求极限 (3) 利用极限或无穷小的运算法则 (4) 利用函数的连续性求极限 (5) 利用等价无穷小与重要的极限 求极限的基本方法 (6) 求未定型的极限 (洛必达法则) (7) 利用导数的定义求极限 (8) 利用中值定理求极限 (9) 利用泰勒公式求极限 其它方法 二、计算导数的方法及常见的题型 1、利用导数的定义求做 适用于分段函数 2、利用导数公式和求导法则求做 要求：基本的公式表 导数与微分的四则运算 复合函数求导法则 隐函数的求导法则 参数方程求导 3、利用对数求导法求做 4、高阶导数的求法 1、直接积分法 2、换元积分法 第一类换元积分（凑微分法） 第二类换元积分（变量代换法） 3、分部积分法 （反、对、幂、指、三） 4、微积分基本定理间的关系 积分中值定理 微分中值定理 牛 - 莱公式 (1) 熟记三角公式及万能代换 (2) (4) (5) (3) 若 以 为周期, 则 奇偶讨论 共性：函数满足一定条件时，在给定的开区间内 至少存在一点(中值)，使得函数在该点的导数具有 某种性质 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒中值定理 1、利用导数定义求极限 2、导数的几何应用 3、导数的物理应用 对于实际问题求解最值，即“用料最省”、“效率 最高”、“成本最低”等 解决方法：建立目标函数，求做最值 讨论单调性、 极值、 凸凹性、 拐点、 渐