[理学]数理统计 课件.doc

第二章 数理统计初步 简单的随机样本 参数估计第二章 数理统计初步 简单的随机样本 数理统计是研究大量现象规律的一门数学学科。根据多次试验或观察的资料，对整体进行统计分析和推断，以揭示整体的规律性。这是一个从局部到一般的方法，但需指出：这种统计推断的可靠性大小的问题，必须用概率来给予描述。因此，前面的概率论是数理统计的理论基础。 下面我们先介绍几个数理统计中常用的基本概念。 一、总体与个体 研究某一随机现象时，被研究对象的全体称为“总体”；而组成总体的每个单元称为“个体”。如整批产品，某地每天平均温度的全体都是总体，而每件产品，每天的平均温度就为个体。 在统计推断中，我们所关心的往往不是每个个体的具体特性，而是它的某个数量特征。例如，我们关心江的年最高水位、材料的强度、产品的使用年限、产品是否次品等。这些特性往往都可用一个数字来表示，它对一个个体而是常数，但对总体进行抽样观察时，这数字就表现随机变量的性质，而这随机变量的概率分布就描述了总体中我们所关心的特性。正因如此，今后的讨论中，我们就把总体和某个随机变量X等同起来，于是，对总体的研究问题，就转化为对某个随机变量的研究问题。 二、样本 从总体X中任意抽出n个个体，称其为容量大小为n的样本。记为。由于样本是从总体中随机地抽取的，不同的取法，可得不同的结果，因而是一个n维随机变量，所以样本也有它的分布律问题。 因为数理统计是根据样本的观察值来对总体进行分析推断的，所以对样本必须提出一定的要求：首先，样本的选取必须是独立的，即是相互独立的随机变量；其次，样本必须有代表性，即与总体同分布。只有这样对总体才有某种代表性，也才有可能根据样本对总体作出某种推断。 满足以上两个要求之后，如果总体X的分布律为或，则作为n维随机变量的样本的联合分布函数和联合分布密度就分别为 和（） 在统计推断中，为了更好地利用样本观察值获得的种种信息，不仅需考虑样本本身，而且还需考虑样本的函数，于是，我们引入统计量的概念。 三、统计量 给定总体Ｘ的样本，且为一连续函数，则称为一“统计量”。 四、经验分布函数 将总体Ｘ的n个独立的观察值，按大小次序排列成 若，则小于x的观察值的频率为，因此，函数 （） 的值等于在n次重复独立试验中事件发生的频率，称为总体Ｘ的经验分布函数。 我们知道当试验次数增大时，事件的频率在其概率附近摆动，那么，自然会问：当试验次数无限增大时，经验分布是否接近于总体分布呢？下面的定理回答了这个问题。 格里文科（Ｗ·Ｇlivenko）定理：设为总体的分布函数，为经验分布函数，则当时，有 即依概率1一致地收敛于。 实际上，当n很大时，就可近似地认为等于总体分布，这是我们根据样本来推断总体的理论依据。  什么是参数估计参数是刻画总体某方面概率特性的数量。 当此参数未知时，从总体抽出一个样本，用某种方法对这个未知参数进行估计从而确定随机变量（总体）的分布函数，称这类问题为参数估计。 例如： 若，未知，通过构造样本的函数，给出它们的估计值或取值范围就是参数估计的内容。 参数的点估计点估计估计未知参数的值。在实际问题中，一般说来，总体X的分布函数是未知的，但对某些随机变量，其分布类型是已知的，如正态分布或泊松分布等，这时只须对所含的参数给予确定即可；另一种情况是，总体X的分布函数未知，我们感兴趣的是，只需了解总体X的某些数字特征。从数学上而言，这都是对总体的参数进行点估计的问题。 对于前者，可设总体的分布类型为，其中x是变量，为参数，于是，我们的问题就变成如何对进行估计，即给出估计的方法和鉴定估计好坏的标准问题。 我们根据样本构造不含未知参数的统计量，，…，来对进行估计，称为的估计量。而当为样本的观察值时，称估计量的值，…，为参数的估计值。 由于参数的估计量是随机变量，所以对于估计量的好坏标准问题，还必须在概率的意义下来加以描述，这将在“”中予以讨论。 下面介绍两种求估计量的方法。 、矩法 由格里文科定理知，样本确定的经验分布函数，当时，依概率1一致地收敛于总体的分布函数，这就告诉我们可用样本的各阶矩来对总体的各阶矩进行估计，如果令 总体X的矩 样本的矩 （）… … 对于总体X的分布密度函数，显然可视其为参数的函数，而各阶矩自然也是的函数。 （） 这样，我们可令，即得出方程组： （5） 如果根据某一具体的样本，已求出各阶矩的估计量，则在方程组（5）中只包含k个未知数，于是，求解方程组（），即可求得各参数的估计量，这个方法就称为“矩法”。 例 某预制件厂在生产过程中