[理学]李庆扬数值分析——插值法.ppt

差 商 注：? 由唯一性可知 Nn(x) ? Ln(x)， 只是算法不同，故其余项也相同，即 ? 实际计算过程为 f (x0) f (x1) f (x2) … f (xn?1) f (xn) f [x0, x1] f [x1, x2] … … … … f [xn?1, xn] f [x0, x1 , x2] … … … … f [xn?2, xn?1, xn] f [x0, …, xn] f (xn+1) f [xn, xn+1] f [xn?1, xn, xn+1] f [x1, …, xn+1] f [x0, …, xn+1] 均差计算可列均差表如下： 例1 依据如下函数值表建立不超过3次的拉格朗日插值多项式及牛顿插值多项式Nn(x),并验证插值多项式的唯一性. 解: (1)拉格朗日插值多项式Ln(x). 插值基函数 3 23 9 1 f (xk) 4 2 1 0 xk 拉格朗日插值多项式为: -8 -10 3 4 3 14 23 2 8 9 1 1 0 三阶均差 二阶均差 一阶均差 f (xk) xk (2) 牛顿插值多项式Nn(x). 建立如下差商表 牛顿插值多项式为: (3) 唯一性验证. 通过比较牛顿插值多项式和拉格朗日插值多项式,知: Nn(x) = Ln(x) 这一事实与插值多项式的唯一性一致. 2 ? 等距节点插值公式 向前差分 i i i f f f - = ? + 1 i k i k i k i k f f f f 1 1 1 1 ) ( - + - - ? - ? = ? ? = ? 向后差分 1 1 1 - - - ? - ? = ? i k i k i k f f f i?1 i i f f f - = ? 中心差分 其中 当节点等距分布时: ? 差分的重要性质： ? 线性：例如 ? 若 f (x)是 m 次多项式，则 是 次多项式，而 ? 差分值可由函数值算出： ? = - + - = D n j j k n j k n f j n f 0 ) 1 ( ? = - + - - = ? n j n j k j n k n f j n f 0 ) 1 ( 其中 ? 函数值可由差分值算出： k j n j k n f j n f D ? = + = 0 ? k k k h k f x x f ! ] , ... , [ 0 0 D = k n k k n n n h k f x x x f ! ] , ... , , [ 1 ? = - - k k k h f f 0 ) ( ) ( D = x 由 Rn 表达式 * 描述事物之间的数量关系：函数。 有两种情况： 一是表格形式——一组离散的数据来表示函数关系；另一种是函数虽然有明显的表达式，但很复杂，不便于研究和使用。 从实际需要出发：对于计算结果允许有一定的误差，可以把函数关系用一个简单的便于计算和处理的近似表达式来代替，从而使问题得到简化。 一般地，构造某种简单函数代替原来函数。 插值法就是一种基本方法 §0 引言 第二章 插值（Interpolation）法 (1) (2) (2) 在 x 为特殊值时, 是好计算的, 则 (2)可转化为(1) 当精确函数 y = f(x) 非常复杂或未知时，在一系列节点 x0 … xn 处测得函数值 y0 = f(x0), … yn = f(xn)，由此构造一个简单易算的近似函数 g(x) ? f(x)，满足条件g(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。这里的 g(x) 称为f(x) 的插值函数。 x0 x1 x2 x3 x4 x g(x) ? f(x) 根据实际需要，可以用各种不同的函数来近似原来的函数。 最常用的插值函数是 …? 多项式： 代数多项式最简单，计算其值只需用到加、减乘运算，且积分和微分都很方便； 所以常用它来近似表示表格函数(或复杂函数),这样的插值方法叫做代数插值法，简称插值法。 §1 拉格朗日多项式 n i y x P i i n , ... , 0 , ) ( = = 求 n 次多项式 使得 条件：无重合节点，即 n = 1 已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求 使得 1 1 1 0 0 1 ) ( , ) ( y x P y x P = = 可见