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[理学]格与布尔代数 课件
对于非分配格,定理5-23不成立。 c d = c b , c d = c b , 但 b ≠ d 。 例如, e d b c a 二 有补格 1.最小元素0和最大元素1 例4 I;≤是一个格,但这个格既无最小元素,又无最大元素。 N;≤这个格有最小元素,但没有最大元素。 格2U; 中无论U是什么样的集合,均有最小元素φ和最大元素U。 具有最小元素和最大元素的格称为有界格。 在有界格L;≤中,对任意L,有0≤ , ≤1. 于是由定理5-14,对任意 ,有 2.补元素 定义5-6 设L; , 是一个有界格, L,若存在元素 L,使得 =1 = 0,则称 是 的补元素。 在任一有界格中0和1互为补元素。 例5 1 a b c d 0 1 a b c d e g 0 f * 第五章 格与布尔代数 ? 本章在了解了代数系统一般概念的基础上,着重介绍的包含有两个代数运算的代数系统:格和布尔代数。主要讨论这些代数系统的相关基本概念和性质 主要内容如下: 5.1 格; 5.2 分配格和有补格; 5.3 布尔代数 一、 格 1.格的定义 定义5-1 设L;≤是一个偏序集,如果L中任意两个元素都存在着最大下界和最小上界,则称L;≤是格。 =glb( , ), =lub( , )。 若L;≤是一个格,则意味着L;≤也是一个形为L; , 的代数系统,其中 和 是L上的两个二元运算,对于任意 , , 表示在偏序“≤”意义下, 和 的最小上界, 表示 和 的最大下界。 例1 试判断下列次序图给出的偏序集哪些是格? 解 (a)不是格, (b)不是格, (c)是一个格, (d)是一个格 e f d c a b (a) e d b c a (b) f h g d e b c a (c) 5 1 2 10 15 3 6 30 (d) 在格<L;≤中有如下四个关系式成立: 2.格的性质 定理5-1 在格L;≤中,对于任意 以下三式中若任意一式成立,那么其它两式也成立. 证明 ① => ② 设 , ② = ③ 设 ③ = ① 设 定义5-2 设L;≤是格,P是包含格的元素和符号=、≤、≥,∧ ,∨的命题,将P中的≤、≥,∧和∨分别替换成≥、 ≤、 ∨和∧所得的命题PD称为P的对偶。 例如 的对偶是 对偶原理 : 对于格L,≤上的任一真命题P,其对偶 PD 亦为格L,≤上的真命题。 定理5-2(交换律) 设L;≤是格,则对任意的 有: 定理5-3 (结合律) 设L;≤是格,则对任意的 ,有 证明 定理5-4 (吸收律) 设<L;≤>是格,则对任意 ,有 证明 (b) 由(5-4) 另一方面,由(5-1) 于是,由(5-5) (2) 由(1)、(2)和反对称性 定理5-5 (等幂律) 设<L;≤>是格,则对任意 ,有 证明 (a)由定理5-17 , 定理5-6 (格的保序性) 设<L;≤>是格,则对于任意 ,有 证明 (1) ① 又已知 ② 由①,②和 因为 所以由(1)有 例2 设 L = ,L上的整除关系 与L构成一个格,记作L;≤, 3∨( 6 ∧ 4 ) = 3 ∨ 1= 3 (3∨6)∧(3∨4) = 6 ∧ 12 = 6 于是 3∨(6∧4)≠(3∨6)∧(3∨4) 6∧(3∨4) = 6∧12 = 6 (6∧3)∨(6∧4)= 3∨1= 3 于是 6∧(3∨4)≠(6∧3)∨(6∧4) 12 6 4 3 1 定理5-7 设L;≤是格,则对任意
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