[理学]概率统计习题解答07习题三.ppt

习题三 18. 19. 解: 解(第8题) 23. 24. 25. 29.上题中设Z为 32. 33. 36. 弹着点到靶心的距离,求Z的概率密度fZ (z) 及期望EZ. 解: ∵(X,Y)服从二维正态分布,其密度为 ∵?=0, ∴X与Y独立, 也独立. 又 同理,可求 利用卷积公式,求出 . . . 30. 随机向量(X,Y)服从二维正态分布,均值向量及协差矩阵分别是 求出密度函数f(x,y)的表示式. 解: 由 得 EX=0,EY=0; 由V 得 DX=16,DY=25,Cov(X,Y)=12. ∵(X,Y)服从二维 正态分布,其密度为 31.设随机向量(X,Y)~f(x,y), 求(X,Y)的均值向量及协差矩阵. 解: 由 ∴(X,Y)服从二维正态分布,且 随机向量(X,Y)~f(x,y),确定A的值,并求X与Y的相关系数 及协差矩阵,其中 解: 将f(x,y)的形式与二维正态密度的标准形式比较,得 其中 由此可得 （1） （2） （3） 由(1),(2)可得 由(3)可得 随机向量(X,Y)服从二维正态分布,均值向量及协差矩阵分别是 求随机向量(9X+Y,X-Y)的均值向量及协差矩阵. 解: 由题意得, (9X+Y,X-Y)的均值向量为 事实上, 随机变量序列 相互独立同正态分布, 当n充分大时,可否认为 近似服从正态分布 为什么? 解: 由题设条件知此序列满足中心极限定理的两个条件,这里 故当n充分大时,有 即当n充分大时, ∴ 可以认为 当n充分大时, 近似服从正态分布 事实上，由定理3.1及其推论知，不论n是否充分大，　　都一定服从正态分布　　　　　　而不仅仅是近似服从正态分布. * 1. 袋内有四张卡片,分别写有数字1,2,3,4,每次从中任取一张,不放回地抽取两次,记X、Y分别表示两次取到卡片上数字的最小值与最大值,求(X,Y)的概率分布. 解: ∵采用不放回地抽取两次, ∴两次取到卡片上数字的最小值与最大值的情况有如下结果 X所有可取值1,2,3;Y所有可取值2,3,4. 1 1/2 1/3 1/6 1/6 1/6 0 0 3 1/3 1/6 1/6 0 2 1/2 1/6 1/6 1/6 1 4 3 2 Y X 令 = “第t次取到一张” 两次取法显然不是独立的. P{X=1,Y=2} P{X=1,Y=3} P{X=1,Y=4} P{X=2,Y=2}=0 (不可能事件) X、Y的取值及其概率列表如下: . . . 2. 求上题中随机变量X与Y边缘分布,并计算期望EX,EY与方差DX,DY 解: 其边缘分布分别为 3. 一个袋内有10个球,其中有红球4个,白球5个,黑球1个,不放回地抽取两次,每次一个,记X表示两次中取到的红球数目,Y表示取到的白球数目,求随机向量(X,Y)的概率分布及X、Y的边缘概率分布. 解: X所有可取值0,1,2; Y所有可取值0,1,2. P{X=0,Y=0}=0 ∵黑球只有1个,不放回地抽取两次, 故必然有一个是红球或白球. P{X=0,Y=1} 取到1个白,必然有一个是黑球. P{X=0,Y=2} P{X=1,Y=0} P{X=1,Y=1} P{X=1,Y=2}=0 P{X=2,Y=0} P{X=2,Y=1}=0 P{X=2,Y=2}=0 1 2/9 5/9 2/9 2/15 0 0 2/15 2 8/15 0 4/9 4/45 1 1/3 2/9 1/9 0 0 2 1 0 Y X 随机向量(X,Y)的概率分布及X、Y的边缘概率分布列表如下 4.上题中试验条件不变,若记 求随机向量 的概率分布, 计算两次取到的球颜色相同的概率. 解: 0 1/18 2/45 2 1/18 2/9 2/9 1 2/45 2/9 2/15 0 2 1 0 X2 X1