[理学]概率论与数理统计南理工.ppt

概率与统计第七讲 二维随机变量（续） 主讲教师：陈 萍 教授 e-mail:prob123@ 主页 /gltj/index.htm 四. 二维连续型随机变量及其密度函数 想一想 已知(x,y)的分布函数F(x,y), 能否确定随机变量X的分布函数? 已知(x,y)的密度函数f(x,y), 能否确定随机变量X的密度函数? 二、边缘分布律 三、边缘密度函数 定理3.4 设(X1,,X2, …, Xn )与 (Y1, Y2,…， Ym )相互独立， 则 Xi (i=1, 2, …, n)与 Yj (j=1, 2, …, m)相互独立； 又若h, g是连续函数，则 h(X1,,X2, …, Xn) 与g(Y1, Y2,…， Ym )相互独立. 一系统包括元件, 联结方式为 “备用”, 即元件A失效后,元件B立刻投入运行. 设两个元件的寿命相互独立,且均服从参数为1 的指数分布, 求系统寿命大于1的概率. A B 解: 设元件A寿命为X,元件B寿命为Y, 则系统寿命为X+Y. 由 * * 1、定义 对于二维随机变量(X, Y)，若存在一个非负函数f (x, y)，使对?(x, y)?R2， 其分布函数 则称 (X, Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)为 (X, Y)的密度函数(概率密度)，或X与Y的联合密度函数，可记为 (X, Y)～ f (x, y)， (x, y)?R2 2、联合密度f(x, y)的性质(p41) (1)非负性： f (x, y)?0, (x, y)?R2; (2)归一性： 反之，具有以上两个性质的二元函数f (x, y)，必是某个二维连续型随机变量的密度函数。 此外，f (x, y)还有下述性质 (3)若f (x, y)在(x, y)?R2处连续，则有 (4)对于任意平面区域G? R2, 设 求:P{XY} 1 1 x y 求：(1)常数A；(2) F(1,1)； (3) (X, Y)落在三角形区域 D：x?0, y?0, 2x+3y?6 内的概率。 例1.3. 设 解(1)由归一性 1 1 (3) (X, Y)落在三角形区域D：x?0, y?0, 2x+3y?6 内的概率。 解 3. 两个常用的二维连续型分布 (1)二维均匀分布* 若二维随机变量(X, Y)的密度函数为 则称(X, Y)在区域D上(内) 服从均匀分布。 易见，若（X，Y）在区域D上(内) 服从均匀分布，对D内任意区域G，有 例1.4.设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布， (1)求(X,Y)的概率密度； (2)求P{Y2X} ； (3)求F(0.5,0.5) 解: 其中，?1、?2为实数，?10、?20、| ? |1，则称(X, Y) 服从参数为?1, ?2, ?1, ?2, ?的 二维正态分布，可记为 (2)二维正态分布 若二维随机变量(X, Y)的密度函数为 定义. n维随机变量(X1,X2,...Xn)，如果存在非负的n元函数f(x1,x2,...xn)使 分布函数的概念可推广到n维随机变量的情形。 事实上，对n维随机变量(X1, X2, … , Xn)， F(x1, x2, … , xn)＝P(X1? x1, X2 ?x2, … , Xn ?xn) 称为的n维随机变量(X1, X2, … , Xn)的分布函数， 或随机变量X1, X2, … , Xn的联合分布函数。 定义. 若(X1,X2,...Xn)的全部可能取值为Rn上的有限或可列无穷多个点，称(X1,X2,...Xn)为n维离散型的，称 P{X1=x1,X2=x2,...Xn=xn},(x1,x2,...xn) ∈Rn 为n维随机变量(X1,X2,...Xn)的联合分布律。 则称(X1,X2,...Xn)为 n维连续型随机变量，称f(x1,x2,...xn)为(X1,X2,...Xn)的概率密度。显然有, 求：（1）P{X?0},(2)P{X?1},(3)P{Y ? y0} EX:随机变量（X，Y）的概率密度为 x y D 答: P{X?0}=0 同理, Y的边缘分布函数 §2.边缘分布一、边缘分布函数 设二维随机变量(X, Y)的分布函数为F(x,y), 称随机变量X的分布函数为(X, Y)关于X的边缘分布函数；记作