[理学]第01章 矢量分析.ppt

第1章 矢量分析 知识脉络 主要内容 标量场和矢量场的概念（理解） 矢量场的散度、旋度及标量场的梯度（掌握） 矢量分析中的高斯定理及斯托克斯定理（掌握） 亥姆霍兹定理（了解） 本章内容 1.1 标量场和矢量场 1.2 矢量的运算 1.3 矢量的通量、散度 1.4 高斯定理 1.5 矢量的环流量、旋度 1.6 斯托克斯定理 1.7 标量场的梯度 1.8 亥姆霍兹定理 1.1标量场和矢量场 矢量的坐标分量表示 1.1.2.场的概念 场是一个标量或矢量的未知函数，即场中的任一个点都对应一个确定的标量或矢量。 意义：矢量场 穿过过包围单位体积的闭合面的通量，又称通量密度。 例：已知点电荷q所产生的电场强度 ，求其在任何一点M处的散度 解： 1.5.1 环流量 在矢量场分布的空间， 取一有向闭曲线 1.5.2 环流密度 以l为周界的曲面 ，规定 的正法线方向 和 的绕行方向构成右手螺旋关系。 当 缩小到P点附近，以下极限有一确定值： 1.5.2 旋度 旋度的计算 *旋度的物理意义 作业：p15 10 11 1.6 斯托克斯定理 1.7 标量场的梯度 三者每米的温度变化为； 一般情况下：标量场u在M0点l0的方向导数 1.7.3 梯度 2.梯度与方向导数的关系 3. 梯度的计算（直角坐标系中） 直角坐标系中，由方向导数与梯度的关系可得标量场u沿三个坐标轴的方向导数： 3. 梯度的性质 几个重要公式 拉普拉斯运算 1 标量场的拉普拉斯 为一矢量场，若在再对 求散度，则称为标量函数u的拉普拉斯运算，即 1.8 亥姆霍兹定理 作业：P16 16 19 20 23 知识回顾 散度的意义与性质 散度的常用计算公式 旋度的意义与性质 在x方向上： 计算穿过 和 面的通量为 根据泰勒定理： 则： 在 x 方向上的总通量： 在z方向上,穿过 和 面的总通量： 整个封闭曲面的总通量： 同理：在y方向上,穿过 和 面的总通量： 该闭合曲面所包围的体积： 通常散度表示为： 称为向量微分算子或哈密尔顿算符（读作del或Nabla） 可视为一种特殊的矢量，它的每个“分量”为微分符号，因而对“乘”到得项起求导的作用。将矢量的微分运算变为与 之间的矢量代数运算。 1.4 高斯定理（散度定理） 由散度的定义： ，该式只对微小体积 成立。 对于有限大体积V，分为许多小体积元 、 …... 体积的剖分 V S dS2 dS1 V1 V2 左: , 为整个有限体积 右: 面积之和 （1）V内两个相邻小体积的分界面 （2）V的外表面 左 = 右 得高斯定理 数学角度：高斯定理建立了面积分和体积分的关系。 散度的意义 数学角度：高斯定理建立了面积分和体积分的关系。 物理角度：高斯定理建立了区域 V 中的场和包围区域 V 的闭合面 S 上的场之间的关系。因此，如果已知区域 V 中的场，根据高斯定理即可求出边界 S 上的场，反之亦然。 可见，除点电荷q所在位置（r =0）外，电场的散度处处为零。 1.5 矢量的环流量、旋度 矢量场的环流 称该极限为矢量场 在P点处沿 方向的环流密度。（该值与 的形状无关，但与所围面积的法线 有关） 矢量场 在P点的旋度是一个矢量 大小：该点最大环流密度 方向：取得最大环流密度的方向 由旋度的定义可知：沿任一方向 的环流投影密度等于旋度沿该方向的投影。（旋度在该方向的分量） 旋度的散度恒为零 y x z Vx 旋度的计算公式反映了某点处的实际旋转趋势，旋度矢量反映的是场量沿其垂直方向上的变化情况。如 沿y、z方向、 沿x、z方向、 沿x、z方向的变化率等等，其效果是可能引起漩涡，旋度不等于0是产生漩涡的基本条件。 例：求矢量场 在点M（1,2,1）处的旋度以及在这点沿矢径方向的环流密度。 解：由旋度的计算公式： 2. M点的矢径 于是，矢量场 在M点沿 方向的环流密度 或 由旋度的定义可知，对于无限小的面积元 对于有限大面积 l为s的周界 方向相反大小相等结果抵消 n 曲面的剖分 l 4、散度和旋度的区别 1.7.1 标量场的等值面 标量场中量值相等的点构成的面