[理学]空间曲面与曲线.ppt

空间曲面与空间曲线 1. 球面 2.柱面 3.锥面 4.旋转曲面 5.二次曲面： 一、椭球面 二、双曲面 三、抛物面 6. 空间曲线 定义1 通过一定点且与定曲线 相交的一族直线所产生的曲面 叫做锥面，这些直线都叫锥面 的母线，那个定点叫做柱面的 顶点，定曲线叫做锥面的准线。 5.二次曲面 用一个二次方程表示的曲面，叫做二次曲面。 前面介绍的柱面、锥面和旋转曲面都是二次曲 面。这里再介绍三种典型的二次曲面： 一、椭球面； 二、双曲面（单叶双曲面和双叶双曲面）； 三、抛物面（椭圆抛物面和双曲抛物面）。 给出它们的标准方程，再讨论它们的简单性质 与形状。 二、双曲面 （一）单叶双曲面 在直角坐标系下，由方程 （二）双叶双曲面 在直角坐标系下，由方程 三、抛物面 （一）椭圆抛物面 在直角坐标系下，由方程 椭球面的参数方程 x z y O 所表示的曲面叫做单叶双曲面，这个方程是单 叶双曲面的标准方程，其中a,b,c为任意正常数。 （1）对称性:关于三个坐标平面、三坐标轴及 坐标原点都是对称的。 （2）与坐标轴的交点、与坐标平面的交线 与z轴不相交，称z轴为虚轴，与x轴与y轴分别 交于点 (±a,0,0)与(0, ±b,0) 这四个点叫做单叶双曲面的顶点。 如果用三个坐标平面z=0,y=0,x=0分别截割曲面 那么所得的截线顺次为 （1）为xOy平面上的椭圆，叫做单叶双曲面的 腰椭圆；（2）与（3）分别是xOz面与yOz面上 的双曲线，这两条双曲线有着共同的虚轴与虚 轴长。 单叶双曲面 x y z O 当用一组平行平面z=h(h可 以是任意实数）来截割单 叶双曲面，得到椭圆 它的两半轴分别是 两轴的端点分别是 这两对端点分别在双曲线（2）与（3）上。 单叶双曲面可以看成是由一个椭圆的变动（大 小位置都改变）而产生的，这个椭圆在变动中 保持所在的平面与xOy面平行，且两对顶点分 别沿着两个定双曲线（2）与（3）滑动。 如果用平行于xOz平面y=h来截单叶双曲面，截 线的方程为 当|h|b时，截线（5）为双曲线，它的实轴平 行于x轴，实半轴长 虚半轴平行于 Z轴，虚半轴长为 双曲线（5）的 顶点 在腰圆（1）上； 图（11） （11） （12） （13） 当|h|b时，截线（5）仍为双曲线，但它的实 轴平行于z轴，实半轴长为 虚半轴平行于x轴，虚半轴长为 它的顶点 在双曲线（3）上。 图（12） 当|h|=b时，（5）变成 这是两条直线 如果h=b,那么两条直线交于点(0,b,0); 如果h=-b,那么两条直线交于点(0,-b,0); 图（13） 如果用平行于yOz的平面来截割单叶双曲面，则 它与用平行于xOz的平面来截割所得结果完全类 似。 如果a=b,则成为单叶旋转双曲面。 方程 所表示的曲面也是单叶双曲面。 所表示的曲面，叫做双叶双曲面， 上面的方程是双叶双曲面的标准方程，其中 a,b,c是任意的正常数。 （1）对称性 双叶双曲面关于三坐标平面，三坐标轴以及坐 坐标原点都对称，曲面与x轴y轴不相交，只与 z轴相交于两点(0,0, ±c),这两点叫做双叶双曲 面的顶点。 由曲面的方程，曲面上 的点恒有z2≥c2.因此， 曲面分成两叶： z≥c与z≤-c. 双叶双曲面 坐标平面z=0与曲面不相交， 而坐标平面y=0与x=0与曲面分别交两条双曲 线： 如果用一组平行于xOy的两平面|z|=h(h≥c)来截 割曲面，得到截线方程 当h=c时，截得的图形为一点，当hc时，截线 为椭圆，它的两半轴是 椭圆的两端点为 双叶双曲面可以看成由一个椭圆变动（大小位置 都改变）而产生，这个椭圆在变动过程中，保持 所表示的曲面称为椭圆抛物面，方程称为此椭 圆抛物面的标准方程，其中a,b是任意正常数。 椭圆抛物面对称于xOz与yOz坐标平面，也对 称于z轴。它没有对称中心，它与对称轴交于 原点(0,0,0),这点 椭圆抛物面的顶点。 从方程知 从以曲面全部在xOy平面的一侧，即z≥0. 用坐标面y=0及x=0截割曲面，分别得抛物线 这两条抛物线叫做椭圆抛物面的主抛物线。它 们有着相同的轴和相同的开口方向，即开口方 与z轴的正向一致。 用坐标平面xOy来截曲面只得到一点(0,0,0), 用平行于xOy面的平面 z=h(h0)来截曲面，截线 总是椭圆 这个椭圆的两对顶点分别为 它们分别在抛物面的主抛物线（1）与（2）上， 因此，椭圆抛物面可以看成是由一个椭圆的变 动（大小位置都改变）而产生的。这个椭圆在 变动中，保持所在平面平行于xOy平面，且两 对顶点分别在抛物线（1）与（2）上滑动。 * 1. 球面 2.柱面 柱面的定义：柱面的准线、柱面的方向、 柱面的母线 柱面的方程 曲线L在平