[理学]第1章 行列式.ppt

第*页 共109页 例5 计算行列式 第*页 共109页 自习：P20～21 第*页 共109页 1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具. 三、小结 第*页 共109页 思考题 求第一行各元素的代数余子式之和 第*页 共109页 思考题解答 解 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成 第*页 共109页 第七节 克莱默法则 第*页 共109页 设线性方程组 则称此方程组为非 齐次线性方程组; 此时称方程组为齐次线性方程组. 一、非齐次与齐次线性方程组的概念 第*页 共109页 二、克拉默法则 如果线性方程组 的系数行列式不等于零，即 第*页 共109页 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解 可以表为 第*页 共109页 三、重要定理 定理 n元齐次线性方程组（n个方程） 第*页 共109页 例1 问 取何值时，齐次方程组 有非零解？只有零解？ 第*页 共109页 解 D 齐次方程组有非零解，则 所以 或 时齐次方程组有非零解. 第*页 共109页 1. 用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零. 2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导. 三、小结 第*页 共109页 思考题 当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默 法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何? 不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解. 第*页 共109页 性质5　若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和. 则D等于下列两个行列式之和： 例如 第*页 共109页 注意　若n阶行列式每个元素都可以表示成两个数之和，则它可分解成 个行列式 第*页 共109页 性质６　把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变． 例如 第*页 共109页 注意　标准书写，要求写出标注 第*页 共109页 二、应用举例 计算行列式常用方法：利用运算　　　把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值． 第*页 共109页 例1 第*页 共109页 例2 计算 阶行列式 解 将第 列都加到第一列得 第*页 共109页 第*页 共109页 例3 第*页 共109页 例4 (1) 对称行列式 (2) 反对称行列式 奇数阶反对称行列式 第*页 共109页 例5 解方程 第*页 共109页 例6 设3 阶行列式 ，计算下列行列式 第*页 共109页 例7 证明 第*页 共109页 证明 第*页 共109页 第*页 共109页 例8 解：方法一 递推法 方法二 化三角行列式法 方法三 展开法 注意讨论分母是否为0 第*页 共109页 (行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立). 计算行列式常用方法： 三、小结 行列式的6个性质 (1) 利用定义; (2) 利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值． 第*页 共109页 第六节 行列式按行（列）展开 第*页 共109页 一、余子式与代数余子式 1.定义 (1)在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作 叫做元素 的代数余子式． 第*页 共109页 例如 第*页 共109页 2.引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ． 证：…… （1）特殊情形： （2）一般情形： 第*页 共109页 定理３(Laplace展开定理1) 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 二、行列式按行（列）展开法则 第*页 共109页 在实际展开时: (1) 常按含“0”元较多的行或列展开（以简化计算）。 (2) 还可先利用性质将某一行（或列）化为仅含一个非零元再按此行（或列）展开，降为低一阶行列式，如此继续，直到化为三阶或二阶行列式计算。 第*页 共109页 例1 第*页 共109页 第*页 共109页 例2 例3 第*页 共109页 证 用数学归纳法 例4 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 第*页 共1