[理学]第1章 Fourier变换.ppt

第一章 Fourier变换 主 要 内 容 §7.2 离散Fourier变换 7.2.2 快速Fourier变换 §7.3 Fourier变换的应用 本章内容总结 证明 对 根据离散Fourier变换 和有限序列卷积的定义, 取 于是 由于 和 的实际长度为N, 所以 例7.12 设 求 延拓为 和 容易求出 于是根据 可得 取N=2, 将序列 和 按长度为3补零 快速Fourier变换(FFT)是DFT的快速算法, 其 运算次数比按DFT的定义直接计算显著减少. 考虑 DFT定义中变换矩阵 矩阵中的元素的 具有周期性, 即 并且当N为偶数时, 下面设 (b 为正整数), 是长度为N的序列. 为表示方便, 相应于序列的长度, 下面记矩阵中的元素为 于是在DFT中按 n为偶 数或奇数分解成两部分之和, 即 由于 所以 记 于是 因为 具有周期性, 所以 因此只需在 时计算 这表明求长度为N的序列DFT可分解为求两个 长度为N /2的序列DFT. 对 又可以按r为偶数或奇数, 分解 为求四个长度为N /4的序列DFT, 并且在计算时可以 应用周期性. 最终分解为求 个长度为1的序列 DFT. 下面以N=8的DFT为例, 如果直接进行DFT, 为 求 F(k)的每一个值, 需要做8次复数乘法和7次复数 加法运算. 计算F(k)的8个值, 就需要做64次复数乘法 和56次复数加法运算. 因此, 计算N个点的DFT, 需要 N2次复数乘法和N(N-1)次复数加法运算. 例7.4 求矩形脉冲函数(E0) 的频谱. o t E . . . 由频谱函数的定义 w |F(w)| O Et 故频谱为 (如图所示) 7.1.2 Fourier变换的性质 以下假定所讨论的函数满足Fourier积分定理 的条件. (1) 线性性质 设a, b 是常数， 则 (2) 对称性质 设 则 证明 由Fourier逆变换有 于是 将t与w互换, 则 所以 特别地, 若f (t)是偶函数, 则 例7.5 求 的频谱函数. f (t) t o 函数 的频谱函数为 当t =2时, 根据Fourier 变换的线性性质 由 知, 单位幅度 (即E=1) 的矩形脉冲 其中 是宽度为2, 幅度为的 矩形脉冲函数, 它是偶函数. 由Fourier变换的 , o w p . . . 宽度为2 幅度为p 的矩形脉冲函数 (3) 相似性质 设 则 (其中 为常数). 证明 由Fourier变换的定义, 令 则 于是当a0时, 当a0时, 综上所证, 即得 (4) 翻转性质 设 则 由相似性质可直接得到 (5) 时移性质 设 则 (其中t0为常数). 证明 由Fourier变换的定义, 令 代入上式得 利用 和 , 易见 其中a, b为常数, 并且 事实上， 例7.6 计算 于是根据 得 (6) 频移性质 设 则 (其中w0为常数). 证明 由Fourier变换的定义, 由 知, 例7.7 计算 和 根据 于是由线性性质、 以及 知, (7) 微分性质 设 并且 在 上存在(n为正整数). 如果当 时, 则