[理学]第二章 对偶理论和灵敏度分析全.ppt

Chapter 1 第二章 对偶理论与灵敏度分析 单纯形的矩阵描述 改进单纯形法 对偶问题的提出 线性规划的对偶理论 对偶问题的经济解释---影子价格 对偶单纯形法 灵敏度分析 用矩阵语言描述单纯形法的关键是写出两个基本的表达式,设线性规划的标准型为 矩阵描述θ规则的表达式： 将(1)式代入目标函数的表达式,可以得到用非基变量表示目标函数的表达式. Z=CX=(CB,CN)(XB,XN)T=CBXB+CNXN =CB(B-1b-B-1NXN)+CNXN =CBB-1b+(CN-CBB-1N)XN =CBB-1b+σNXN σN= CN-CBB-1N 注意XB检验数为零,实质上是CB-CBB-1B=0 单纯形表的矩阵描述 注意:在初始单位矩阵的位置,在各运算表中就是B-1的所在位置 改进单纯形法又称为逆矩阵法或修正单纯形法,是在原来单纯形法基础上加以改进而形成的适合于计算机求解的线性规划解法.目的是提高运算效率和减少内存. 求逆矩阵的方法 构造含有该列而其他列都是单位列的矩阵 x2为换入变量 引例：经营策略问题。甲工厂有设备和原料A、B 这些设备和原料可用于Ⅰ、Ⅱ两种产品的加工，每件产品加工所需机时数，原料A、B消耗量，每件产品的利润值及每种设备的可利用的机时数如下表。现在乙厂和甲厂协商，打算租用甲厂的设备购买资源A和B 。问甲厂采取哪种经营策略，是自己生产产品还是出租设备、出让原材料？如果出租设备、出让原材料，在和乙厂协商时出租设备和出让原材料A,B的底价应是多少？ 对偶思想： 周长一定的矩形,以正方形面积最大 面积一定的矩形,以正方形周长最小 设y1 ,y2和y3分别表示出租单位设备台时的租金和出让单位原材料A,B的附加额 4.1 原问题与对偶问题的关系(对称形式) 标准(max,?)型的对偶变换 目标函数由 max 型变为 min 型 对应原问题每个约束行有一个对偶变量 yi，i=1,2,…,m 对偶问题约束为 ? 型，有 n 行 原问题的价值系数 C 变换为对偶问题的右端项 原问题的右端项 b 变换为对偶问题的价值系数 原问题的技术系数矩阵 A 转置后成为对偶问题的技术系数矩阵 原问题与对偶问题互为对偶 对偶问题可能比原问题容易求解 对偶问题还有很多理论和实际应用的意义 例： 非标准型的对偶变换 对偶变换的规则 原问题与对偶问题的结构关系 原问题与对偶问题中的目标函数的优化方向相反（前者为极大，后者为极小） 原问题的每个约束条件对应于对偶问题的一个决策变量，且约束条件的资源系数（右端的常数项）为相应决策变量的价值系数 原问题的每个决策变量对应于对偶问题的一个约束条件，且决策变量的价值系数为相应约束条件的右端常数项 对偶问题中的系数矩阵为原问题中的系数矩阵的转置 原问题约束条件中的小于等于符号对应于对偶问题中的对偶变量取非负约束，原问题中决策的对偶问题非负约束在对偶问题中体现为相应的约束条件取大于等于符号 对偶的定义 原始问题 max z=CX s.t. AX≥b X ≥0 弱对偶定理推论 原问题的任何可行解目标函数值是其对偶问题目标函数值的下限；对偶问题的任何可行解目标函数值是原问题目标函数值的上限 如果原(对偶)问题为无界解，则其对偶(原)问题无可行解 如果原(对偶)问题有可行解，其对偶(原)问题无可行解，则原问题为无界解 当原问题(对偶问题)为无可行解,其对偶问题(原问题)或具有无界解或无可行解 (3)强对偶性 (4) 主对偶定理 若原问题和对偶问题两者皆可行,则两者均有最优解,且此时目标函数值相等. 第2部分:证明有相同的目标函数值 设 为原问题的最优解 主对偶定理 根据主对偶定理第2部分的证明,可以得出:若互为对偶的线性规划问题中的任一个有最优解,则另一个也有最优解,且目标函数值相等. 综上所述,一对对偶问题的解必然是下列三种情况之一: 原问题和对偶问题都有最优解 一个问题具有无界解,另一个问题无可行解 原问题和对偶问题都无可行解 (5)互补松弛定理 (6)原问题单纯形表检验数行与对偶问题解的关系 原问题单纯形表检验数的相反数对应对偶问题的一个基解.显然,原问题最终单纯形表检验数的相反数对应对偶问题的一个基可行解 证：标准化后的原问题和对偶问题的表达式为： 原问题解为XB=B-1b ， 结论： 例： 例： 原问题的最优解为:Z*=CBB-1b=Y*b 于是，当某个右端常数bi变为bi＋１时，原问题的目标函数最优值变为： 影子价格在经济管理中的应用 影子价格可以作为企业在接受外协加工任务时,对外协单位使用资源的收费标准,按照影子价格收费,保证了企业与外协单位双方平等互利的格局,可以促进