[理学]第二章 矩阵·矩阵的初等变换与矩阵的秩-1.ppt

上一页 下一页 结束 返回 第一节 矩阵及其运算 第二章 矩 阵 线 性 代 数 第二章 矩 阵 第一节 矩阵及其运算 第二节 逆矩阵 第三节 矩阵的初等变换与矩阵的秩 第四节 矩阵的分块 第三节 一、 矩阵的初等变换 二 、 等价矩阵 矩阵的初等变换与矩阵的秩 第二章 三 、 初等矩阵 四 、 矩阵的秩 一、 矩阵的初等变换 定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)． 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换． 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同． 逆变换 定义2 若矩阵A经有限次初等行变换变成B , 则称A 与B行等价, 记为 ; 若矩阵A经有限次初等列变换 变成B , 则称A与B列等价, 记为 ; 若矩阵A经有限 次初等变换变成B , 则称A与B等价, 记为 . 例如 二、 等价矩阵 ? 等价关系的性质 ? 矩阵的标准形 定义3 若矩阵的任一行从第一个元素起至该行的第一个 非零元素所在的下方全为零， 则称该矩阵为行阶梯形矩阵. 特点 （1）可划出一条阶梯线，线的下方全为零； （2）每个台阶只有一行， 阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的 台阶数即是非零行的行数， 第一个非零元． 例如 是行阶梯形矩阵. 不是行阶梯形矩阵. 定义4 一般地，称同时满足下列条件的行阶梯形矩阵为 行最简形矩阵. （1）各非零行的第一个非零元素都是1； （2）该非零元所在列的其余元素全都是零。 例如 是行最简形矩阵. 不是行最简形矩阵. 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形． 定理1 定义5 左上角是单位阵，其余元素全为零的行最简形阵 称为标准形矩阵. 例如 例如 解 用初等行变换将矩阵 化为行阶梯形矩阵及行最简形矩阵. [例1] 为A的行阶梯形矩阵. A2为A的行最简形矩阵. 注意到 定理2 推论 如果A为n阶可逆矩阵， 则矩阵A经过有限次初等 行变换可化为单位矩阵E， 即A~E. 所有与矩阵A等价的矩阵组成的一个集合， 等价类， 称为一个 标准形F 是这个等价类中最简单的矩阵. 解 矩阵 然后再将其化为单位阵. 先用初等行变换把化为行阶梯形， [例2] 行阶梯形 行最简形 是否可逆， 如果可逆 说明 将矩阵初等变换至单位阵即证明了该矩阵可逆. 解 先用初等行变换把矩阵 然后再用初等列变换将其化为等价标准形. 化为行最简形， [例3] 行最简形 等价标准形 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵称为 三种初等变换对应着三种初等方阵. 定义5 三、 初等矩阵 初等矩阵. ? 初等变换与初等矩阵的关系 设矩阵A3×4为 更一般的， 设A是一个m?n矩阵，对A施行一次初等行变换， 初等变换 初等矩阵 初等逆变换 初等逆矩阵 ? 初等矩阵的性质 相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵； 对A施行一次初等 列变换， 定理3 相当于在A 的右边乘以相应的n阶初等矩阵. [例3] 已知矩阵A 利用初等变换矩阵求矩阵A. 解 故 由于 所以 设A为可逆方阵， 证明 即 定理4 则存在有限个初等方阵 ? 计算逆矩阵的初等变换法 应用方法 推论1 方阵A可逆的充要条件是 推论2 [例3] 解 即 初等行变换 ? 求解矩阵方程的初等变换法