[理学]第二章-45 导数.ppt

第四节 隐函数的导数 参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 一、隐函数的导数 二、对数求导法 三、由参数方程所确定的函数的导数 四、相关变化率 五、小结 思考题 一、隐函数的导数 二、对数求导法 三、由参数方程所确定的函数的导数 四、变化率与相关变化率 五、小结 四、微分在近似计算中的应用 （一）计算函数增量的近似值 （二）计算函数的近似值 （三）误差估计 （一）计算函数增量的近似值 　函数的局部线性化 图形显示：在局部范围，可微曲线 y=x2 的性态就象一条直线 分析表示： 　　一般说来，在 f (x) 可微的点 x=a 处，曲线 y=f(x) 的切线方程是： y = f (a) + f ?(a)(x-a)， 切线方程，即线性函数 L(x) = f (a) + f ?(a)(x-a)， 就给出了f(x)的很好的近似。 用语言定义”线性化”： 　　如果 f 在 x=a 处可微，那么近似函数 L(x) = f (a) + f ?(a)(x-a) 称为 f 在 x=a 处的线性化。 数值验证： 　　在x=０处，近似式 的精度 （二）计算函数的近似值 （三）误差估计 10-2 10-3 10-5 ｜真值-近似值｜ 近似值 　　当x的值离开０较远时，误差就加大了，例如对x=2，线性化对 的近似值为2，连一位小数的精度都没有。 第五节 函数的微分 一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 四、微分在近似计算中的应用 五、小结 思考题 一、微分的定义 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. 再例如, 既容易计算又是较好的近似值 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求? 定理 证 定理 例1 解 x y o M N . y = f (x) dy ? . 用切线增量近似曲线增量 dy 函数在x0点的微分dy= dy是图中哪条线段？ =tan? ?x 二、微分的几何意义 . ?x ?y ？ ?x 三、微分的计算法 1.基本初等函数的微分公式 2. 函数和、差、积、商的微分法则 例2 解 例3 解 例4 解 3. 复合函数的微分法则与微分形式的不变性 结论： 微分形式的不变性 3. 复合函数的微分法则与微分形式的不变性 例3 解 例4 新的解法： 例5 解 在等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立. +C) 用微分不变性，求复合函数的导数： 用微分不变性，求复合函数的导数： 导数与微分的区别: ★ 例1 解 常用近似公式(等价无穷小) 常用近似公式 证明 证明 (4) 证明 (5) 例2 解 ?x 太大 例2 另解 * 定义: 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数的显化 例2 解 解得 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 例3 解 所求切线方程为 显然通过原点. 上例中 例4 解1 例4 解2 观察函数 方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数. --------对数求导法 适用范围: 例5 解 等式两边取对数得 例7 解 等式两边取对数得 例如 消去参数 问题: 消参困难或无法消参如何求导? 借助第三变量描写函数y(x) 由复合函数及反函数的求导法则得 例7 解 所求切线方程为 2a 2?a 0 y x ?a x = a (t – sint) y = a (1– cost) a a 圆上任一点所画出的曲线。 旋轮线 . 一圆沿直线无滑动地滚动， 例8 解 例8 解 x y o a – a 0 ? ? ? 2? 或 . P ? . 一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。 . 星形线 (圆内旋轮线) 例9 解 称为相关变化率问题 实际问题中，经常遇到几个变量之间有相互联系，能不能从已知变化率求出未知变化率? 一个变量相对于另一个变量的变化快慢称为变化率， 即函数的导数，如： 例10 解 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数与反函数求导法则; 尤其要注意参数方程的高阶导数 思考题 思考题解答 不对． 练 习 题 ? ? 练习题答案