[理学]第二章、行列式.ppt

第 二 章 引入二阶行列式的定义后，上述二元一次线性方程组的解可以用二阶行列式表示。 1.概念的引入： 2.n阶行列式的定义 利用分块矩阵的广义初等变换，可以证明以下结果： 与 只经过一次对换 推论 若行列式有两行（列）元素对应相等，则行列式为零。 对于 中任一项 在 中必有对应一项 所以对于 中任一项， 中必定有一项与它的符号相反而绝对值相等，又 与 的项数相同。 性质3 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一个数k，等于用数k乘以此行列式。 性质4 行列式中若有两行（列）元素对应成比例，则此行列式为零。 推论1 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式的外面。 推论2 性质5 若行列式的某一行（列）的元素都是两个数之和 则该行列式等于下列两 个行列式之和 例如 例：下列行列式可写成几个行列式的和 ？ 思考：如果用这种方法计算一定方便吗 ？ 性质6 把行列式某一行（列）的元素乘以数k，加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。 以数k乘以第i行上的元素加到第j行对应元素上，有 说明：利用性质6，可以把行列式转化成三角形行列式 例1 计算四阶行列式 解： 例2 计算四阶行列式 例3：计算 解： 例4：计算下列行列式 解： §4 行列式按行（列）展开定理 背景：低阶行列式比高阶行列式计算要简便，能否把高阶行列式转化成低阶行列式？如何转化？ 以三阶行列式为例，容易验证： - + 可知：三阶行列式可以转化为二阶行列式 则 Aij叫做元素aij的代数余子式。 显然，Aij与行列式中第i行、第j列的元素无关。 令 先看下面两个定义： 例如：三阶行列式中元素 的余子式 = 如：三阶行列式中元素 的代数余子式 定义 设 ， 划去元素aij所在的行和列，余下的元素按其原有的位置构成的（n－1）阶行列式叫做元素aij的余子式，记为Mij 。 引理1 n阶行列式D中，如果其中第1行元素除a11外其余全为零，则行列式等于a11与它的代数余子式A11 乘积. 即 证： 把 D 的第 行依次与第 行，第 行，······ 第2行，第1行交换；再将第 列依次与第 列 第 列，······， 第2列，第1列交换，这样共经过 次交换行与交换列的步骤. 引理2 n阶行列式D中，如果其中第i行元素除aij外其余全为零，则行列式等于aij与它的代数余子式Aij 乘积. 即 证： 得 例1：计算四阶行列式 定理1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 证：把行列式重新构造一下，可知 （按行展开） （按列展开） 即 例 1 计算行列式 解 由定理1，按第一行展开 得 也可以按其他行（或列）展开,这种计算方法也叫降阶法 例2 计算 解： 推论 行列式一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即 证: 当i?j, 将式中ajk换成aik(k=1,2,…,n),可得 同理可证 因此可以得到代数余子式的重要性质: 例4 已知 求 解： 下面证明 设 定理4 证明: 推论2 设 推论1 设 证明:构造一个行列式 对上述行列式作行变换，将第n+1行的a11倍，第n+2行的a12倍，…第2n行的a1n倍加到第一行，得 定理5 设A , B是 n 阶方阵，则 再依次将第n+1行的ak1倍(k=2,3, …,n)，第n+2行的ak2倍，…第2n行的akn倍加到第k行，得 由定理4 的推论得 证明完毕。 注：设A , B是 n 阶方阵, 则 思考题 求第一行各元素的代数余子式之和 解 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成 * 行 列 式 行列式的概念 2.n阶行列式的定义 3.行列式的性质 4.行列式按行（列）展开定理 5.行列式的计算 6.再论可逆矩阵 二元线性方程组的求解. a11x1+a12x2=b1 a21x1+a22x2=b2 (1) (2) §1 行列式的概念 背景： 一般形式 利用加减消元法，可知 时，方程组有唯一解 当 为了方便表示上述结果，引进记号： 并规定 称D为二阶行列式 当 时，方程组有唯一解 其中，表示分母的行列式称为系数行列式 注意：关于 例：利用行列式解下列方程组 （1）等号右边的式子称为行列式的展开式,结果是一个数,称为行列式的值 （2）二阶行列式也可以称为矩阵 的行列 式 同样，对