[理学]第二节_偏导数.ppt

例. 证明函数 例 例 例 例 共 23 = 8 项. 发现求高阶导数与求导顺序有关. * 第三节 多元函数的导数 繁 啦 ！ 烦 多元函数的偏导数是一元函数导数的推广,其计算往往是借用一元函数的计算公式和方法,但实际计算往往较繁. 在推广中有一些东西将起质的变化.我们通常介绍二元函数的情形, 所得结果可以推广到更高元的函数中, 一般不会遇到原则性问题. 工程和科学技术中, 遇到的大部分 是多变量的问题, 在处理时往往需要知 道在其它变量不变, 只有某一个变量变 化时, 引起的事物反应 . 在物理和力学中, 经常用到力和速 度的分解和合成 . 一般是将任意方向的 力或分速度 . 力或速度分解为平行于坐标轴方向的分 1. 偏增量 偏增量 或 一. 偏导数的定义及其计算法 1. 偏增量 偏增量 或 2. 二元函数的偏导数定义 三. 多元函数的偏导数 二元函数的偏导数定义 若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , 记为 或 y 偏导数存在 , 变量 x 和 y 的偏导数均存在 , 则称函数 若函数 在点 处关于 在点 处可偏导. 在区域 ? 内的任一点 若函数 内可偏导. 处均可偏导 , 则称函数 在区域 ? 下面讨论偏导数的计算方法 可以看出: 定义 时, 变量 y 是不变的, 实际上, 是对函数 , 将 y 视为常数, 关于变量 x 按一元 函数导数的定义进行的： 实质上是 哇！爽！ 求多元函数的偏导数 相应的一元函数的导数. 实质上是求 忘记了, 请赶快复习一下. 如果一元函数的求导方法和公式 多元函数的偏导数的计算方法, 没有任何技术性的新东西. 求偏导数时,只要将 n 个自变量 中的某一个看成变量,其余的 n－1个 自变量均视为常数, 然后按一元函数 的求导方法进行计算即可 . 例 解 由定义,此例也可用下列方式求解 将 y 看成常数 将 x 看成常数 例 解 将 y 看成常数时, 是对幂函数求导. 将 x 看成常数时, 是对指数函数求导. 例 解 以上的叙述虽然是对二元函数 元及其以上的多元函数中去. 进行的, 但其结论可直接推广到三 例 解 由 k 的任意性及极限的唯一性可知该极限不存在, 例 解 但是 想想是什么问题 ? 该例说明了一个重要问题： 对多元函数来说,函数的偏导数 存在与否与函数的连续性无必然关系. 这是多元函数与一元函数的 一个本质区别. 偏导数记号是一个 例. 已知理想气体的状态方程 求证: 证: 说明: (R 为常数) , 不能看作 分子与分母的商 ! 此例表明, 整体记号, 警告各位！ 偏导数的符号 是一个整体记号, 与 的商. 不能像一元函数那样将 看成是 x y z O . . 四. 偏导数的几何意义 二元函数的偏导数存在 , 只是表明函数沿 x 轴和 y 轴方向是连续的 , 而二元函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续, 故由偏导数存在不能推出函数连续. 偏导数的几何意义说明了一个问题: 二、高阶偏导数 多元函数的高阶导数与一元函数的情形类似. 一般说来, 在区域 ? 内, 函数 z = f (x, y) 的偏导数 仍是变量 x , y 的多元函数, 如果偏导数 的二阶偏导数. 依此类推, 可定义多元函数的更高阶的导数. 仍可偏导, 则它们的偏导数就是原来函数 一般地, 若函数 f (X) 的 m－1 阶偏导数仍可偏 导,则称其偏导数为原来函数的 m 阶偏导数. 二阶和二阶以上的偏导数均称为高阶偏导数, 其 中, 关于不同变量的高阶导数, 称为混合偏导数. 例 高阶偏导数还可使用下列记号 二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项 *