[理学]第五章 定积分.ppt

第五章 定积分 §1.定积分概念与性质 一.定积分问题举例 1. 曲边梯形的面积 2. 变速直线运动的路程 3. 变力沿直线做功 二. 定积分的定义 例 题 讨 论 作 业 三、定积分的性质 例 题 讨 论 作 业 第二节 微积分基本公式 例 题 讨 论 作 业 二. 牛顿－莱布尼兹公式 例 题 讨 论 作 业 第三节 定积分的换元法和分部积分法 作 业 二、定积分的分部积分法 例 题 讨 论 作 业 第五节 广义积分 一、无穷区间上的广义积分 例 题 讨 论 例 作 业 设 u (x), v (x) 在[a, b]上有连续导数 , 两边作定积分： 例 = 0 例 = ln 2 例 解： 例 解： 例 证明定积分公式： n为正偶数 n为大于1 的正奇数 1. 2. 4 3 2 1 5 4 3 2 1 3. 求下列定积分： 4. = 0 例 P38页 5-3(A) 3(单), 8 5-3(B) 5 如果f (x)在有限区间[a, b]上连续，或只有 有限个第一类间断点， 则定积分 又称为常义积分。 先看一例： 一、定积分的换元法： 解： x = 0 x = 4 0 2 定理1： 设(1) f (x) 在 [a, b] 上连续； (2) 函数 x = φ (t) 满足 则有定积分换元公式： 即有定积分的换元法： 注意： 1. 积分上、下限一定要 换成相应于新变量 t 的积分限。 求出原函数 Φ(t) 后，直接代入新变量 2. t 的上、下限,不必再回代到原来变量。 3. 若用代换 t = ψ(x) 引入新变量t ，则 t 的反函数 必须满足定理条件。 例： 1 ? 计算定积分必须注意： 1. 变换有条件 2. 换元要换限 3. 开方看区间 解： x = 0 x = 1 1 2 解： 原式 = x = 1 x = 2 解： 原式 6. 解： 1 解： 设 f (x) 在 [-a, a] 上连续, 1. 定积分的特有性质： 证： 当 f (x) 为偶函数时， 当 f (x) 为奇函数时， f (x)为偶函数 f (x)为奇函数 0 a 0 -a a x y o 从几何意义来看，结果显然。 + + -a a x y o + 如： = 2 . 为奇函数 0 . 从上述证明过程可见： 解： 原式 = 如 f (x) 在 [-a, a] 上连续, 则 求 2. 设 f (x) 是以T为周期的连续函数，即 则有 证： 令 x = t +T t = x -T 0 a 周期函数在任何一个周期上的定积分都相等（与起点 a 无关） 同理可证： 例： 3. 设 f (x) 在 [a, b] 上连续, 则有 证： 证： 证： 例1： 解法二： 解法三： 例2： (偶) (奇) 例 设 f (x) 为连续的奇函数， 证： - 0 x 例4： ? 解： 令 u = t – x , d u = d t , P38页 5-3(A) 1(双), 2(单), 4, 5(2), 6, 5-3(B) 2(提示:令x+y=t) 3(提示:令 ) 8, 9 P25页 5-2(B) 9 例2: 0 例3： － 例4： f 为可导函数， 解： x + 例5： 解： 原式 = = 12 . 例6： 解： 两边对 x 求导： 例7： 解： 例8. 证： 所以F(x)在[a,b]上 所以F(x)在[a,b]内至多只有一个根。 又F(x)在[a,b]上连续， 且 所以由零点存在定理知 方程F(x)=0在(a,b)内至少有一个根。 综上，本题得证。 例9： 已知 g(x) 处处连续，且 g(1) = 5, 证明： 从而计算 证明： 定理2： 设 f (x)在[a, b]上连续，则积分上限的函数 就是 f (x)在[a, b]上的一个原函数。 推论 此定理肯定了连续函数的原函数是存在的。 初步揭示了积分学中定积分与原函数之间的 联系，从而可通过原函数来计算定积分。 注意： 定积分与导数概念是相互独立地建立起来的，所以定积分存在（黎曼可积）与原函数存在是两个不同的概念，两者之间并无必然的蕴含关系。但通过上述定理建立了两者之间的一些联系。 例如， 一切在 [a, b] 上只有有限个第一类间断点的有界函数是（黎曼）可积的，但该函数不可能有原函数。（因为可导的函数不可能有第一类间断点）