[理学]第五章 特征值和特征向量.ppt

第五章 特征值和特征向量 例1: 求正交阵Q,使Q-1AQ为对角阵,其中 练习 设 　　　求A的特征值与特征向量． 解：（１）求A的特征值 得基础解系为： （２）求　　　　对应的特征向量 A的对应于特征值 的特征向量为 作业： 习题5-1 P149 2（1），4 习题5-2 P157 2（2）（3），3 特征值和特征向量的性质 定理1 设 是 阶方阵， 定理2 设 是方阵 的特征值， ,则 （1） 是 的特征值； （2） 是 的特征值. 则 与 有相同的特征值. (3) 可逆时， 是 的特征根. 练习 已知三阶可逆矩阵　的全部特征值为1,2,3 则矩阵　　　　　　　的全部特征值为 的全部特征值为 定理3 设 阶方阵 的 个特征值为 （1） ，其中 是 的主对 角元之和，称为矩阵 的迹，记作 （2） 推论 阶方阵 可逆的充分必要条件是它的 任一特征值不等于零. 则 例3 三阶方阵 的三个特征值分别为 求 解 可逆，所以 而 故 其中 所以 的特征值为 于是 定理4 设 是方阵 的 个特征值， 依次是与之对应的特征向量. 如果 各不相等，则 线性无关. 三 相似矩阵 概念与性质 定义1 设 都是 阶方阵，若有可逆矩阵 则称 是 的相似矩阵，或说矩阵 与 相似. 对 进行运算 称为对 进行相似变换. 可逆矩阵 称为把 变成 的相似变换矩阵. 使 设 为 阶方阵，则相似矩阵有下列 （1）反身性 ； （2）对称性 ； （3）传递性. 基本性质： 定理1 若 与 相似，则 （1） 与 有相同的特征多项式、特征值、迹； （2） （3） （4） 与 也相似，其中 为正整数. 例1 已知矩阵 与 相似. （1）求 与 ； （2）求一个可逆矩阵 ，使 （3）求 解 （1）因 与 相似，故 即 将 代入有 ； （2） 的特征值为－1，2，－2， 将 代入有 解齐次线性方程组 可分别求得 的对应特征向量 于是所求可逆矩阵 使 （3）由于 ，于是 所以 练习: 答案:-1,3,1 矩阵可对角化的条件 把方阵 对角化方法，即求相似变换矩阵 定理2 阶方阵 相似于 阶对角矩阵的 推论 如果 阶方阵 有 个互不相等特征值， 使 为对角阵. 充要条件是 有 个线性无关的特征向量. 则 与对角矩阵相似. 定理2 分析: 练习 解 A关于特征值的线性无关特征向量只有两个，故不能对角化。 判断是否可以对角化： 属于特征值 属于特征值 四 实对称矩阵的相似矩阵 实对称矩阵特征值的性质 定理1 实对称矩阵的特征值为实数. 定理3 设λ是n阶实对称矩阵A的r重特征值， 则矩阵A?λE的秩为n?r ， 从而对应特征值λ恰有r个线性无关的特征向量. 定理2 实对称矩阵A的属于不同特征值的特征 向量相互正交. 实对称矩阵的相似理论 定理4 任意实对称矩阵 都与对角矩阵相似. 定理5 设 为 阶实对称矩阵，则存在正交矩 阵 ，使 ，其中 是以 的 个特征值为对角元素的对角矩阵 实对称矩阵对角化方法 阶实对称矩阵 对角化的具体步骤: （1）求出特征方程 （2）对每一特征值 ，解齐次线性方程组 求得它的一个基础解系 所有不同的根 其中 为 的 重特征值 （3）利用Schmidt正交化方法， （5）记 则 为正交矩阵，使 把 正交化， 得到正交向量组 (4)再单位化，得到正交单位向量组 并且排列顺序与P中正交规范向量组的排列 顺序相对应. 其中，矩阵 的主对角线元素 的重数为 解： 得?1= 0(二重),?2=3 （2）对特征值?=0 方程组(A-?E)X=o的基础解系: 矩阵的特征值 矩阵的特征向量 矩阵可对角化的条件 预备知识 向量的内积 在空间解析几何中,向量的内积(即数量积或点积)描述了内积与向量的长度及夹角间的关系 内积定义 ： 夹角 ： 向量的长度： 定义1 设有 维向量 令 称