[理学]第五章 特征值和特征向量.ppt

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[理学]第五章 特征值和特征向量

第五章 特征值和特征向量 例1: 求正交阵Q,使Q-1AQ为对角阵,其中 练习 设    求A的特征值与特征向量. 解:(1)求A的特征值 得基础解系为: (2)求    对应的特征向量 A的对应于特征值 的特征向量为 作业: 习题5-1 P149 2(1),4 习题5-2 P157 2(2)(3),3 特征值和特征向量的性质 定理1 设 是 阶方阵, 定理2 设 是方阵 的特征值, ,则 (1) 是 的特征值; (2) 是 的特征值. 则 与 有相同的特征值. (3) 可逆时, 是 的特征根. 练习 已知三阶可逆矩阵 的全部特征值为1,2,3 则矩阵       的全部特征值为 的全部特征值为 定理3 设 阶方阵 的 个特征值为 (1) ,其中 是 的主对 角元之和,称为矩阵 的迹,记作 (2) 推论 阶方阵 可逆的充分必要条件是它的 任一特征值不等于零. 则 例3 三阶方阵 的三个特征值分别为 求 解 可逆,所以 而 故 其中 所以 的特征值为 于是 定理4 设 是方阵 的 个特征值, 依次是与之对应的特征向量. 如果 各不相等,则 线性无关. 三 相似矩阵 概念与性质 定义1 设 都是 阶方阵,若有可逆矩阵 则称 是 的相似矩阵,或说矩阵 与 相似. 对 进行运算 称为对 进行相似变换. 可逆矩阵 称为把 变成 的相似变换矩阵. 使 设 为 阶方阵,则相似矩阵有下列 (1)反身性 ; (2)对称性 ; (3)传递性. 基本性质: 定理1 若 与 相似,则 (1) 与 有相同的特征多项式、特征值、迹; (2) (3) (4) 与 也相似,其中 为正整数. 例1 已知矩阵 与 相似. (1)求 与 ; (2)求一个可逆矩阵 ,使 (3)求 解 (1)因 与 相似,故 即 将 代入有 ; (2) 的特征值为-1,2,-2, 将 代入有 解齐次线性方程组 可分别求得 的对应特征向量 于是所求可逆矩阵 使 (3)由于 ,于是 所以 练习: 答案:-1,3,1 矩阵可对角化的条件 把方阵 对角化方法,即求相似变换矩阵 定理2 阶方阵 相似于 阶对角矩阵的 推论 如果 阶方阵 有 个互不相等特征值, 使 为对角阵. 充要条件是 有 个线性无关的特征向量. 则 与对角矩阵相似. 定理2 分析: 练习 解 A关于特征值的线性无关特征向量只有两个,故不能对角化。 判断是否可以对角化: 属于特征值 属于特征值 四 实对称矩阵的相似矩阵 实对称矩阵特征值的性质 定理1 实对称矩阵的特征值为实数. 定理3 设λ是n阶实对称矩阵A的r重特征值, 则矩阵A?λE的秩为n?r , 从而对应特征值λ恰有r个线性无关的特征向量. 定理2 实对称矩阵A的属于不同特征值的特征 向量相互正交. 实对称矩阵的相似理论 定理4 任意实对称矩阵 都与对角矩阵相似. 定理5 设 为 阶实对称矩阵,则存在正交矩 阵 ,使 ,其中 是以 的 个特征值为对角元素的对角矩阵 实对称矩阵对角化方法 阶实对称矩阵 对角化的具体步骤: (1)求出特征方程 (2)对每一特征值 ,解齐次线性方程组 求得它的一个基础解系 所有不同的根 其中 为 的 重特征值 (3)利用Schmidt正交化方法, (5)记 则 为正交矩阵,使 把 正交化, 得到正交向量组 (4)再单位化,得到正交单位向量组 并且排列顺序与P中正交规范向量组的排列 顺序相对应. 其中,矩阵 的主对角线元素 的重数为 解: 得?1= 0(二重),?2=3 (2)对特征值?=0 方程组(A-?E)X=o的基础解系: 矩阵的特征值 矩阵的特征向量 矩阵可对角化的条件 预备知识 向量的内积 在空间解析几何中,向量的内积(即数量积或点积)描述了内积与向量的长度及夹角间的关系 内积定义 : 夹角 : 向量的长度: 定义1 设有 维向量 令 称

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