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[理学]第五章 特征值与特征向量
注意:若令 即矩阵P的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应. 则有 定理:n 阶矩阵 A 可对角化的充分必要条件是: 对于 A 的每个 重特征值 ,A有 个线性无关的特征向量。 相应的特征向量是 求矩阵A. 例7:已知方阵A的特征值是 解:因为特征向量是3维向量,所以矩阵A是3阶方阵。 因为A有 3 个不同的特征值,所以A可以对角化。 即存在可逆矩阵P,使得 其中 例8:设 解: A可对角化。 齐次线性方程组为 当 系数矩阵 令 得基础解系: 求 齐次线性方程组为 当 系数矩阵 令 得基础解系: 令 求得 即存在可逆矩阵P,使得 例9:设A是n阶方阵, 是A的n个特征值, 计算 解I: 设 A的特征值是 即 的特征值是 解2:已知A有n个不同特征值,所以A可对角化, 即存在可逆矩阵P,使得 解I: B的特征值为 令 3阶矩阵B有3个不同的特征值,所以B可以对角化. 例10:已知3阶矩阵A的特征值为1,2,3, 设 问矩阵 B 能否与对角阵相似? 即存在可逆矩阵P,使得 解2:因为矩阵A有3个不同的特征值,所以可对角化, 所以矩阵B能与对角阵相似. 例11:设n阶方阵A有n个互异的特征值, n阶方阵B与A有相同的特征值。 证明: A与B相似。 证:设A的n个互异的特征值为 则存在可逆矩阵 使得 又 也是矩阵B的特征值, 所以存在可逆矩阵 ,使得 即 即存在可逆阵 即B与A相似。 使得 四. 内积、正交化 1. 向量的内积、长度、夹角 定义1:n维实向量 称 为向量 与 的内积。 向量内积的性质: 线性性 对称性 等号成立当且仅当 正定性 定义2:实数 称为向量的长度(模,范数)。 若 称 为单位向量。 向量单位化: 若 则 即 是单位向量, 向量长度的性质: (1)非负性: 当 当 (2)齐次性: (3)柯西-施瓦兹不等式: (4)三角不等式: 称为把 单位化。 非零向量 和 的夹角余弦: 定义3:非零向量 的夹角是 注:(1)零向量与任何向量都正交。 当向量 的内积为零,即 时, 称向量 正交,记为 定义4: (2)定义了内积的向量空间称为欧氏空间。 2. Schmidt正交化 定义5: 正交向量组:非零实向量 两两正交。 正交单位向量组(标准正交向量组): 正交向量组中各向量长度全为1。 即 例:正交向量组线性无关。 定义6: A是n阶实矩阵,若 称A为正交矩阵。 定理1:设A、B都是n阶正交矩阵,则 或 也是正交矩阵。 也是正交矩阵。 第五章 特征值、特征向量、矩阵的相似 一. 矩阵的特征值与特征向量 二. 矩阵的相似、矩阵的对角化 三. 实对称矩阵的对角化 一. 矩阵的特征值与特征向量 1. 特征值与特征向量的定义 定义: 设A是复数域上的n阶方阵, 若复数 和 维非零列向量 ,使得 成立,则称 是矩阵A的一个特征值, 为A的对应于特征值 的一个特征向量。 注: (1) A是方阵 (2) 特征向量 是非零列向量 (3) 一个特征向量只能属于一个特征值 (4) 方阵A的与特征值 对应的特征向量不唯一 2. 特征值与特征向量的求法 或 已知 所以齐次线性方程组有非零解 或 定义1: 数 称为矩阵A的特征多项式。 称为矩阵A的特征方程。 求特征值、特征向量: 求出 即为特征值; 把得到的特征值 代入上式, 求齐次线性方程组 的非零解 即为A的属于 的特征向量。 解: 第一步:写出矩阵A的特征方程,求出特征值. 例1:求 的特征值和全部特征向量. 特征值为 代入齐次线性方程组 第二步:对每个特征值 求非零解。 当 齐次线性方程组为 系数矩阵 自由未知量: 得基础解系: 是对应于 的全部特征向量。 令 当 齐次线性方程组为 得基础解系 是对应于 的全部特征向量。 3. 特征值和特征向量的性质 若A的特征值是 , 是A的对应于 的特征向量,则 是kA的特征值。(k是任意常数) (3)若A可逆,则 是 的特征值 是 的特征值 且 仍然是矩阵 分别对应于 的特征向量。 是 的特征值。(m是正整数) (5)矩阵 和 的特征值相同。 定理:设n阶方阵 的n个特征值为 则 称为矩阵A的迹。(主对角元素之和) 为 x 的多项式,则 是 的特征值. 例2: 设 为矩阵A的特征值
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