[理学]第五章 特征值与特征向量.ppt

注意：若令 即矩阵P的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应． 则有 定理：n 阶矩阵 A 可对角化的充分必要条件是： 对于 A 的每个 重特征值 ，A有 个线性无关的特征向量。 相应的特征向量是 求矩阵A. 例7：已知方阵A的特征值是 解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵A是3阶方阵。 因为A有 3 个不同的特征值，所以A可以对角化。 即存在可逆矩阵P，使得 其中 例8：设 解： A可对角化。 齐次线性方程组为 当 系数矩阵 令 得基础解系： 求 齐次线性方程组为 当 系数矩阵 令 得基础解系： 令 求得 即存在可逆矩阵P，使得 例9：设A是n阶方阵， 是A的n个特征值， 计算 解I： 设 A的特征值是 即 的特征值是 解2：已知A有n个不同特征值，所以A可对角化， 即存在可逆矩阵P，使得 解I： B的特征值为 令 3阶矩阵B有3个不同的特征值，所以B可以对角化. 例10：已知3阶矩阵A的特征值为1，2，3， 设 问矩阵 B 能否与对角阵相似？ 即存在可逆矩阵P，使得 解2：因为矩阵A有3个不同的特征值，所以可对角化， 所以矩阵B能与对角阵相似. 例11：设n阶方阵A有n个互异的特征值， n阶方阵B与A有相同的特征值。 证明： A与B相似。 证：设A的n个互异的特征值为 则存在可逆矩阵 使得 又 也是矩阵B的特征值， 所以存在可逆矩阵 ，使得 即 即存在可逆阵 即B与A相似。 使得 四. 内积、正交化 1. 向量的内积、长度、夹角 定义1：n维实向量 称 为向量 与 的内积。 向量内积的性质： 线性性 对称性 等号成立当且仅当 正定性 定义2：实数 称为向量的长度（模，范数）。 若 称 为单位向量。 向量单位化： 若 则 即 是单位向量， 向量长度的性质： （1）非负性： 当 当 （2）齐次性： （3）柯西－施瓦兹不等式： （4）三角不等式： 称为把 单位化。 非零向量 和 的夹角余弦： 定义3：非零向量 的夹角是 注：（1）零向量与任何向量都正交。 当向量 的内积为零，即 时， 称向量 正交，记为 定义4： （2）定义了内积的向量空间称为欧氏空间。 2. Schmidt正交化 定义5： 正交向量组：非零实向量 两两正交。 正交单位向量组（标准正交向量组）： 正交向量组中各向量长度全为1。 即 例：正交向量组线性无关。 定义6： A是n阶实矩阵，若 称A为正交矩阵。 定理1：设A、B都是n阶正交矩阵，则 或 也是正交矩阵。 也是正交矩阵。 第五章 特征值、特征向量、矩阵的相似 一. 矩阵的特征值与特征向量 二. 矩阵的相似、矩阵的对角化 三. 实对称矩阵的对角化 一. 矩阵的特征值与特征向量 1. 特征值与特征向量的定义 定义： 设A是复数域上的n阶方阵， 若复数 和 维非零列向量 ，使得 成立，则称 是矩阵A的一个特征值， 为A的对应于特征值 的一个特征向量。 注： (1) A是方阵 (2) 特征向量 是非零列向量 (3) 一个特征向量只能属于一个特征值 (4) 方阵A的与特征值 对应的特征向量不唯一 2. 特征值与特征向量的求法 或 已知 所以齐次线性方程组有非零解 或 定义1： 数 称为矩阵A的特征多项式。 称为矩阵A的特征方程。 求特征值、特征向量： 求出 即为特征值； 把得到的特征值 代入上式， 求齐次线性方程组 的非零解 即为A的属于 的特征向量。 解： 第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值. 例1：求 的特征值和全部特征向量. 特征值为 代入齐次线性方程组 第二步：对每个特征值 求非零解。 当 齐次线性方程组为 系数矩阵 自由未知量： 得基础解系： 是对应于 的全部特征向量。 令 当 齐次线性方程组为 得基础解系 是对应于 的全部特征向量。 3. 特征值和特征向量的性质 若A的特征值是 ， 是A的对应于 的特征向量，则 是kA的特征值。(k是任意常数) （3）若A可逆，则 是 的特征值 是 的特征值 且 仍然是矩阵 分别对应于 的特征向量。 是 的特征值。(m是正整数) （5）矩阵 和 的特征值相同。 定理：设n阶方阵 的n个特征值为 则 称为矩阵A的迹。（主对角元素之和） 为 x 的多项式，则 是 的特征值. 例2： 设 为矩阵A的特征值