[理学]第五章量子力学的矩阵形式和表象变换.ppt

例题：两个态矢|A 和| B在同一个表象Q中的标记 3. 算符在具体表象中的狄喇克表示方法 设算符F存在如下关系 将态矢A、B分别在Q表象中展开 用|m左乘上式，再利用正交性 则 称为算符F在Q表象中的矩阵元 例题 薛定谔方程 表示为 两边左乘以 k |, 例题：对于（l2,lz）的共同本征态Ylm(?,?), 计算lx2 ly2的平均值， 对易关系 解： 由于 4.3 量子力学公式的矩阵表述 1. 平均值公式 写成矩阵形式 （51） 简写为 例题 求一维无限深势阱中，当n=1和n=2 时粒子坐标的平均值 解： 2. The Eigenvalue Problem 在量子力学中最重要的问题是找算符的本征值和本征函数。 首先，算符F的本征函数满足 （54） （55） 有非零解的条件是其系数行列式为零 （60） 这是一个线性齐次代数方程组 这是一个久期（secular）方程。将有?1， ?2 …. ?n n个解,就是F的本征值。 例题： 求算符x在下面波函数中的本征值, [-a,a]区间 解： 则 该行列式有解的条件是其系数行列式为零 两个本征值分别为 3.矩阵形式的薛定谔方程 The Schr?dinger Equation in Matrix Form 薛定谔方程 （77） 不显含时间的波函数的能量表象 （78） 波函数根据哈密顿本征函数展开 （79） 代入薛定谔方程 （80） 两边同乘以 并积分 （81） （82） 简写为 H，?均为矩阵元。 例题： 求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数 线性谐振子的总能量为 解法一：在动量表象中，x的算符表示为： 则H算符表示为 定态的薛定谔方程写为 c（p）是动量表象中的本征函数 仿照一维谐振子坐标空间的求解方法可解出c(p)。 解法二 当n＝0时， 讨论从一个表象变换到另一个表象的一般情况。 设算符A的正交归一的本征函数ψ1(r ) ， ψ2(r )，… ψn(r ); 设算符B的正交归一的本征函数?1(r ) ， ? 2(r )，… ? n(r ); （64） （66） 1. Unitary Transformation（幺正变换） （65） 算符F在A表象中 （67） 算符F在B表象中 确定Fmn与F??之间联系的转换矩阵。 将算符B的本征函数?(x)用算符A的本征函数?n(x)展开。 两边同乘以 并积分得 （69） （68） 同理 （70） （71） 应用厄密共轭矩阵性质 得到算符在两个表象中的变换矩阵 简写为 这就是力学量F从A表象变换到B表象的变换公式。 （72） 因为ψ和φ都是正交归一的波函数， （68） S与S+的积等于单位矩阵。即 SS+＝I, S+＝S-1 （74） 将满足上式的矩阵称为幺正矩阵, 由幺正矩阵表示的变换称为幺正变换. 物理意义: 在不同的表象中几率是守恒的。如果一个粒子在态φn中的几率为1， 在态ψn中的几率为?Sμn?2,那么, ?Sμ1?2, ?Sμ2?2,…, ?Sμn?2,…给出粒子在态ψn中出现的几率分布。下面的式子必定成立。 （75） 例题： 求转动矩阵R(??）的特征值、特征矢量和幺正变换矩阵. 解：设在A表象中 B表象中特征矢为 本征值为? 代入原方程，求解b1、b2 当?＝ ?＝ 变换矩阵 下面讨论态矢量 u(x,t)从A表象变换到B表象的公式 b=S+a 总结：幺正变换的性质 1）幺正变换不改变算符的本征值 设算符F在A表项中的本征值方程为 a为态矢 将F和a从A表象变换到B表象 在B表象中 因为b=S+a＝ S－1a 2）幺正变换下， 矩阵的迹（trace) 不变。用TrF表示，定义为矩阵的对角单元之和。那么 TrFA=TrFB, 矩阵的积不依赖于特别的表象。 5.4 狄喇克符号 在经典力学中，体系的运动规律与所选取的坐标是无关的，坐标是为了处理问题方便才引进的。 同样，在量子力学中，粒子的运动规律与选取的表象无关，表象的选取是为了处理问题方便。 在经典力学中，常用矢量的形式讨论问题，并不指明坐标系。 同样，量子力学中描述态和力学量，也可以不用坐标系。 这样一套符号称为狄喇克符号。 1.右矢 (ket) ?和左矢（bra） ? 左矢 ?表示右矢的共轭，例如ψ ＊，表示为ψ?，是?ψ的共轭态矢。 x′?是?x′的共轭态矢。 量子体系的一切可能的态构成一个Hilbert空间， Hilbert是一个以复量为基的一个有限的或无限的、完全的矢量空间。 ψ ? φ ＊＝ φ ? ψ 2.标积 在Hilbert空间中。一个标积(scalar product)定义为一对函数ψ和φ的乘积。标积记为ψ?φ 一个量子态用右矢 ?来表