[理学]重积分 多元微分.ppt

天津农学院基础科学系 朱文新 MATLAB数值计算（二） 实验内容： 一．二重积分 ·在直角坐标下化为二次积分 ·在极坐标下化为二次积分 ·命令格式 [例1]计算 [解] syms x y I=int(int(x^2+y^2,y,-1,1),x,-1,1) I = 8/3 [例2]计算 其中D是由抛物线 及直线 所围成的闭区域。 [解]步骤（1）求 与 的交点。 （2）作积分区域图形。 （3）积分。 syms x y F1=y^2-x; F2=y-(x-2); s=solve(F1,F2); s0=double([s.x s.y]); ezplot(F1,[0,4,-1,2]); hold on ezplot(F2,[0,4,-1,2]); hold on text(1.5,1.5,y^2=x); text(2.5,0.5,y=x-2); text(1.2,-0.9,(1,-1)); text(3.7,1.9,(4,2)); hold off %方法1：先对x后对y积分 I1=int(int(x*y,y^2,y+2),y,-1,2) I1 = 45/8 %方法2：先对y后对x积分 I2=int(int(x*y,y,-sqrt(x)),y,-1,2)… +int(int(x*y,y,x-2,sqrt(x)),x,1,4) I2 = 45/8 [例3]计算 [解] 将直角坐标化为极坐标进行积分： syms a r t I=int(int(exp(-r^2)*r,r,0,a),t,0,2*pi) I = -exp(-a^2)*pi+pi 二．三重积分 ·在直角坐标下化为三次积分 ·在柱面坐标下化为三次积分 ·在球面坐标下 下化为三次积分 ·命令格式 [例4]计算 为三个坐标面与 平面 所围成的闭区域。 [解]步骤： （1）求积分区域 与OX轴的交点； （2）作积分区域 与XOY平面的投影图形； （3）化为三次积分： syms x y z s=solve(x+2*y+z-1=0,y=0,z=0); s0=double([s.x s.y s.z]) s0 = 1 0 0 x1=0:0.005:s0(1); y1=(1-x1)/2; stem(x1,y1) text(0.55,0.26,y=(1-x1)/2) xlabel(x) ylabel(y) title(积分区域) I=int(int(int(x,z,0,1-x-2*y),y,0, (1- x)/2),x,0,1) I = 1/48 [例5]利用柱面坐标计算三重积分 其中 是由曲面 与平面 所 围成的闭区间。 [解] 步骤： （1）将平面 与曲面 化为柱 面坐标； （2）作积分区域 的图形及 在平面 的投影图形； （3）化为柱面积分： syms x y z r t x=r*cos(t); y=r*sin(t); z1=4+0*r+0*t; subplot(1,2,1) ezsurf(x,y,z1,[0,2,0,2*pi]) hold on z2=x^2+y^2; z2=simplify(z2) ezsurf(x,y,z2,[0,2,0,2*pi]) title(积分区域) hold off subplot(1,2,2) ezsurf(x,y,z1,[0,2,0,2*pi]) hold on ezsurf(x,y,z2,[0,2,0,2*pi]) view(0,90) title(积分区域投影 x^2+y^2=4) hold off I=int(int(int(z*r,z,z2,4),r,0,2),t,0, 2*pi) z2 = r^2 I = 64/3*pi 四．上机实验题： 1．计算下列二重积分： （1） （2） 2．计算下列三重积分：