[电脑基础知识]第7章 典型的代数系统.ppt

第七章 典型的代数系统 一、半群 二、群 三、格（略） 四、布尔代数（略） 一、半群 1、半群 2、可交换半群 3、独异点（含幺半群） 4、可交换含幺半群 5、子半群 6、循环半群 1、半群 2、可交换半群 3、独异点（含幺半群） 4、可交换含幺半群 半群举例 下列各代数系统是否为半群？若是半群，是什么半群？ (1) N, + (2) N, × (3) ρ(S), ∩，其中S为非空集合。 (4) ρ(S), ∪其中S为非空集合。 半群举例 I:整数集合，对于下列*运算，哪些代数系统I, *是半群? (1) a*b=a (2) a*b=a+ab (3) a*b=max(a,b) 说明：上述关于运算*的定义，对整数集合I均封 闭，故I, * 是代数系统。 解答 (1) a*b=a (a*b)*c=a*c=a, a*(b*c)=a*b=a， *是可结合运算 解答 (2) a*b=a+ab (a*b)*c=(a+ab)*c =a+ab+(a+ab)c =a+ab+ac+abc a*(b*c)=a*(b+bc) =a+a(b+bc)=a+ab+abc (a*b)*c≠a*(b*c) 解答 (3) a*b=max(a,b) (a*b)*c = max(a, b)*c = max(a, b, c) a*(b*c) = a*max( b, c) = max(a, b, c) 即： (a*b)*c = a*(b*c)，所以运算*可结合。 5、子半群 子含幺半群 子半群举例 例：S，*是一个半群，*运算的运算表如下： 子含幺半群举例 集合A={ 0, 2, 4 } N6={ 0, 1, 2, 3, 4, 5 } (1)A, ×6是含幺半群; (2)A, ×6 不是N6,×6的子含幺半群。 i ×6 j = (i ×j)(mod6) 解答 A, ×6的幺元是4，所以A,×6是独异点； N6, ?6的幺元是1。而1?A,，因此A, ?6不是 N6, ?6的子含幺半群。 定理 S, *, e : 含幺半群 证明 定理 S, *:可交换含幺半群 证明 元素的幂的定义 在含幺半群S, *, e中，任意元素a?S,它的幂被定义为： a0=e a1=a a2=a*a … a k+1=ak *a 6、循环半群 循环含幺半群举例 设S={a, b, c, d}，定义S中的二元运算*，*运算的运算表如下： (1)证明S, *是一个循环含幺半群，并给出它的生成员; (2)把S, *中的每一个元素都表示成生成员的幂； (3)列出S, *中所有的等幂元。 解答 (1)由运算表可知：e=a b和d均为生成员 (2)生成员的幂的形式： b0=a b1=b b2=b*b=c b3=b2*b=c*b=d 定理 每一个循环半群（或含幺循环半群）都是可交换半群（或可交换含幺半群）。 证明 二、群 1、群的定义 2、阿贝尔群 3、循环群 4、子群 1、群的定义 （1）S，*是代数系统； （2） 运算*满足结合律； （3）S，*中存在幺元e； 群举例 R，×和R-{0}，×是群吗？为什么？ (1) R，× 解： 0是R，×的零元，而零元是不可逆的。 (2) R-{0}，× （1） R-{0}，×是代数系统； （2）存在幺元e=1; （3） “×”可结合； （4）对任意实数x, x-1 = 1/x 有限群和无限群 设S，*是一个群，若集合S是有限集,则称 S，*是有限群，|S|称为有限群的阶数; 若集合S是无限集则称 S，*是无限群。 定理 证明 (1)证明方程有解： 证明（续） （2）证明方程有唯一的解 假设方程有其它的解分别为x1, y1,则： a*x1=b ? a-1*a*x1= a-1*b ?(a-1*a)*x1= a-1*b ?e*x1= a-1*b ? x1=a-1*b 同理： y1 ＝b*a-1 定理 A，*:群 证明 (1) a*b=a*c ?b=c （左消去律） 设a的逆元是a-1 ，则： a*b=a*c ? a-1 *a*b= a-1 *a*c ?( a-1 *a)*b=( a-1 *a)*c ?e*b=e*c ?b=c (2) b*a=c*a ?b=c （右消去律） （略） 定理 对于任意的a, b∈A，有： (a * b)-1=b-1 * a-1 证明 证 （1）(a*b)*(b-1*a-1)=a*(b*b-1)*a-1 =a*e*a-1=a*a-1 =e （2）(b-1*a-1)*(a*b)=b-1*(a-1*a)*b