[研究生入学考试]高代选讲第七章.doc

第七章 线性变换 一、线性变换及其运算 1.线性变换的定义 线性空间的一个变换称为线性变换，如果对于中任意元素,和数域中任意数，都有 2.线性变换的运算 设，是数域上线性空间的两个线性变换，. (1) 加法 (2) 数乘 (3) 乘法 (4) 逆变换 的变换称为可逆的，如果有的变换，使 （的恒等变换） 3.线性变换的矩阵 (1) 设是数域上维线性空间的一组基，是中的一个线性变换。基向量的象可以被基线性表出： 用矩阵来表示就是 (1) 其中 矩阵称为在基下的矩阵。 (2) 设是数域上维线性空间的一组基，在这组基下，每个线性变换按公式(1)对应于一个矩阵。这个对应具有以下性质： 1) 线性变换的和对应于矩阵的和; 2) 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积; 3) 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积; 4) 可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵。 (3) 设线性变换在基下的矩阵是，向量在基下的坐标是，则在基下的坐标可以按公式 计算。 (4) 设为数域上两个级矩阵，如果可以找到数域上的级可逆矩阵，使得，就说相似于。 (5) 线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的;反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵。 二、特征值与特征向量 1.特征值与特征向量的定义 设是数域上线性空间的一个线性变换，如果对于数域中一数，存在一个非零向量，使得 那么称为的一个特征值，称为的属于特征值的一个特征向量。 2.特征多项式的定义 (1) 设是数域上一个级矩阵，是一个文字，矩阵的行列式 称为的特征多项式，这是数域上的一个次多项式。 (2) 哈密尔顿-凯莱定理 设是的特征多项式，则 3.特征值与特征向量的性质 (1) 设是级矩阵的全体特征值，则 (2) 属于不同特征值的特征向量是线性无关的。 (3) 如果是线性变换的不同的特征值，而是属于特征值的线性无关的特征向量，那么向量组 也线性无关。 4.线性变换在某组基下为对角矩阵的条件 (1) 设是维线性空间的一个线性变换，的矩阵可以在某一组基下为对角矩阵的充分必要条件是，有个线性无关的特征向量。 (2) 如果在维线性空间中，线性变换的特征多项式在数域中有个不同的根，即有个不同的特征值，那么在某组基下的矩阵是对角矩阵。 (3) 在复数域上的线性空间中，如果线性变换的特征多项式没有重根，那么在某组基下的矩阵是对角矩阵。 三、矩阵的相似 1.矩阵相似的定义 设为数域上两个级矩阵，如果可以找到数域上的级可逆矩阵,使得，就说相似于，记为 2.相似矩阵的性质 (1) 相似的矩阵有相同的特征多项式。 (2) 相似矩阵有相同的最小多项式。 四、线性变换的值域与核 1.设是线性空间的一个线性变换，的全体象组成的集合称为的值域，用表示。是的子空间，维称为的秩。所有被变成零向量组成的集合称为的核，记为。 是的子空间，维称为的零度。 2.设是维线性空间的线性变换，是的一组基，在这组基下的矩阵是，则 (1) (2) 的秩=的秩 3.设是维线性空间的线性变换，则 的秩+的零度= 五、不变子空间 1.不变子空间的定义 设是数域上线性空间的线性变换，是的子空间。如果中的向量在下的象仍在中，就称是的不变子空间，简称子空间。 2. 设线性变换的特征多项式为，它可以分解成一次因式的乘积 则可分解成不变子空间的直和 其中 六、最小多项式 1.最小多项式的定义 设为数域上一个级矩阵，是数域上的一个多项式，如果，就称以为根。以为根的多项式中，次数最低的首项为1的多项式称为的最小多项式。 2.最小多项式的性质 (1) 矩阵的最小多项式是唯一的。 (2) 设是矩阵的最小多项式，那么以为根的充分必要条件是整除。 (3) 设是一个准对角矩阵并设的最小多项式为,的最小多项式为,那么的最小多项式为，最小公倍式。 (4) 数域上级矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件为的最小多项式是上互素的一次因式的乘积。 (5) 复数矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是的最小多项式没有重根。 七、例题分析： 例1.下列各变换，哪些是中的线性变换，哪些不是？ （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解：（1）是线性变换：设 则 同理，. （2）不是线性变换，因为 即零向量的象不是零向量. （3）是线性变换：设 则 同理，有 . （4）是线性变换：设 则 同理，有. （5）不是线性变换，因为对有 所以 （6）是线