[研究生入学考试]高数考研指导3.ppt

第三讲 2-1 计算导数的方法与技巧 4、高阶导数的运算法则 5. 高阶导数的求法 ( P49 中4 ) 二. 实例分析 (2) (4) 设 2、设 3、设函数 例2. 设 利用 例3. 设 例4 设函数 例4 设函数 例5 设函数 例6. 设 例7. 设函数 例7. 设函数 例8、求 例9. 设曲线方程为 例10. 求下列函数的 n 阶导数 : 例11 设 例12 试确定常数的值 2-2 微分中值定理的理解及其应用方法 (P65) (2) 证明中值定理的方法 方法2. 逆向分析 同样, 柯西中值定理要证 (3) 中值定理的条件是充分的, 但非必要. 2. 中值定理的主要应用与解题方法 ( P72 中6 ) (3) 若结论中含两个或两个以上中值 , 二. 实例分析 又因 2、证明不等式 2、证明不等式 例2. 设函数 例3. 设函数 例4. 设 例5. 设函数 例6.设函数 例7（1）证明方程 例8. 设 再对 例9. 已知函数 例10. 设函数 例11. 设函数 例12. 设函数 例13. 设函数 例14. 例15 例16 例16 例17. 设 对 中值定理 原函数的性质 导函数的性质 解题方法: 从结论入手, 利用逆向分析法, 选择有关中值定 理及适当设辅助函数 . (1) 证明含一个中值的等式或证根的存在 , 常用 罗尔定理 , 此时可用原函数法设辅助函数. (2) 若结论中涉及到含一个中值的两个不同函数, 可考虑用柯西中值定理 . 必须多次 使用中值定理 . (4) 若已知条件或结论中含高阶导数 , 多考虑用 泰勒公式 , 有时也可考虑对导数用中值定理 . (5) 若结论为恒等式 , 先证变式导数为 0 , 再利用 特殊点定常数 . (6) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的 技巧. 例1. 当 时, 试证 (P76 例2) 证: 设 当 时, 在 上 满足拉氏中值定理条件, 因此有 解出 , 则 时 及 在 单调递增 , 于是 说明: 中值定理只告诉位于区间内的中值存在 , 一般 不能确定其值 , 此例也只给出一个最好的上下界 . 证 设 则 从而 单调增加。又因为 当 时，由于 所以 2012考研 证 设 当 单调增加。又因为 时， 当 时， 所以 则 是函数在 内的最小值。 时， 即 从而当 在 内可导, 且 证明 在 内有界. (P77 例3) 证: 取点 再取异于 的点 对 在以 为端点的区间上用拉氏中值定理 得 ( 界于 与 之间) 令 则对任意 即 在 内有界. 在 上二阶可导, 且 证明至少存在一点 使 分析: 在结论中将 换为 得 积分 证: 设辅助函数 因 在 上满足罗尔定理条件, 所以存在 因此 在 上满足 罗尔定理条件, 故必存在 使 即有 使 在 上连续, 在 证明存在 内可导, 且 使 证: 因为所证结论左边为 设辅助函数 由于 上满足拉氏中值定理条件, 且 易推出所证结论成立 . 在 在 上连续, 在 但当 时 内可导, 且 求证对任意 自然数 n , 必有 使 分析: 在结论中换 为 得 积分 因 所以 证: 设辅助函数 显然 在 上满足罗尔定理条件, 因此必有 使 即 (2005 考研） 是由参数方程 在 处的法线与x轴交点的横坐标. 解 时， ，解得 由于 的定义域为 ，所以 ，该处法线的斜率为 法线方程 ，令 ，得 为法线与x轴交点的横坐标。 求曲线 确定， 在 内有且仅有一个实根。（2）记上式方 ，证明 存在，并求此极限。 则 在 上连续，且 由闭区间上连续函数的零点定理知，方程 在 内至少有一个实根。当 时， 故 在 内单调增加。综上所述，方程 2012考研 程的实根为 证 （1）令 综上所述，方程 在 内仅有一个实根。 知数列 有界，又 因为 所以， ,于是有 即 单调减少。综上所述，数列 单调有界，故 收敛，记 ，由于 令 ，并注意到 ，则有 解得 ，即 （2） 解 由 在 上连续, 在 证明存在 内可导, 且 使 证: 转化为证 设辅助函数 由于它在 满足 拉氏中值定理条件, (P118 题8) 即证 因此存在 使 转化为证 在 上用拉氏中值定理 , 则存在 使 因此 内可导, 且 证: (1) 令 故存在 使 即 (2005 考研） 内可导, 且 (2) 根据拉格朗日中值定理, 存在 使 3. 已知函数 二阶导数, 且存在相等的最大值, 并满足 证: 据泰勒定理, 存在 使 由此得 即有 (2007 考研） 情形1. 则有 内具有 阶导数, 且存在相等的最大值,