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第4章 方差分析 §4.1 方差分析的基本思想 方差分析是分析试验数据一种重要方法。一个复杂的事物，往往要受到许多因素的影响和制约。例如工业生产中的原材料，工艺条件，工人的技术水平等，它们的改变可能会影响产品的质量，如何通过统计数据，分析因素本身以及各因素之间的交互作用，找出对产品质量等特性指标有显著影响的那些因素，这是方差分析要解决的主要问题之一。 一、基本概念 在方差分析中，我们把所考察的试验结果，如产品的质量、数量、成本等，统称为指标，有X表示，由于试验误差的存在，故X是随机变量；称影响我们所关心的某个指标的原因为因素（或因子），常用A、B、C……来表示；称因素在试验中所处的不同状态为“水平”，因此A的m个不同水平用A1，A2，A3，…，Am来表示。 当只考虑一个因素时，称相应的方差分析为单因素方差分析；当考虑两个因素时，称相应的方差分析为双因素方差分析；当考虑更多个因素时，称相应的方差分析为多因素方差分析。由于多因素方差分析与双因素方差分析相比并无本质上的差别，因此本章仅限于讨论前两类问题。 二、基本思想 为了说明方差分析的基本思想，我们先看一个例子。 例4.1 某灯泡厂用四种不同材料的灯丝制成四批灯泡，除灯丝不同外，其他生产材料和生产工艺完全相同。今由这四批灯泡中随机地各抽取6只灯泡进行寿命试验，结果如表4-1，试根据这些数据，推断灯泡使用寿命是否与灯丝材料不同而有显著差异（取显著性水平?=0.05）？ 表4-1 从表4-1中数据可以看出，A1的平均寿命最长，A4的平均寿命最短，A2，A3的平均寿命介于其间，我们是否由此可以得出灯泡寿命与灯丝材料不同而有显著性差异的结论呢？不能，因为在灯泡制作的过程中，除了工艺外，还有许多难以控制的随机因素的影响，因此它们之间的差异可能是随机误差所造成的。要正确地回答上述问题，在统计学上可以采取显著性检验的方法来解决。 对每个水平做独立实验，得样本，再根据样本判断各个水平对指标X的影响，即检验假设 或 。 当然，对每个水平做重复独立试验时，试验的重复次数可以是相同的，也可以是不相同的，从而就有等重复试验的方差分析和不等重复试验的方差分析。 二、单因素等重要试验的方差分析 对因素A的每个水平都做k次重复独立试验，得样本，见表4-2 （其中xij, i=1，2，…，m; j =1，2，3，…，k，表示在水平A下的第j次试验结果）。 表4-2 样本总容量n = mk。 下面我们来构造检验用的统计量，对上述假设进行检验 1．建立假设： 或 ； 2．选取统计量： 3．给定显著性水平?，使 ,得拒绝域为： 4．列方差分析表，计算F0，并作判断。 1）列出数据表（表4-3） 表4-3 数据表 2）计算QA和QE： 3）列方差分析表（见表4-4）。 表4-4 方差分析表 4）判断：比较Fo与F?(fA,,fE)的值，若Fo≥ F?，则拒绝Ho，即认为因素A对指标X的影响显著，否则，接受Ho，即认为A对X的影响不显著。 在实际应用中，若FoF0.05，则可以认为因素A的影响显著；若Fo F0.01，则认为因素A的影响高度显著；若Fo F0.05，则可以认为因素A的影响不大。 注：当数据很大时，可作变换 （a’ ,b’为非零常数），用新数据Yij代替xij所作的方差分析结果不变。 例4.2 求解例4. 1中提出的问题 解： 1o 建立假设：Ho： 2o 取 其中 m=4，k=6，mk=24。 fA = m-1=3， fE = mk-m=20， fT = mk-1 = 23 3o由 ，查下分布表得 所以拒绝域是 。 4°列方差分析表并作判断： 1）列数据表 令 ，得新的数据表4-5 表4-5 2）计算QA、QE 于是： 3）列方差分析表（见表4-6） 表4-6 4)判断：由于FoF0.05（3.20）所以接受HO，即认为灯泡使用寿命