[工学]幅角原理.doc

授课题目 §3 幅角原理及其应用 授课类型 理论课 首次授课时间 2009年12 月1 0 日 学时 2 教学目标 掌握复变函数积分的概念,积分存在的条件及积分计算法和性质. 重点与难点 重点：复变函数积分存在的条件及其计算法和性质. 难点：复变函数计算法和性质. 教学手段与方法 黑板 讲授 教学过程：（包括授课思路、过程设计、讲解要点及各部分内容时间分配 一 幅角原理 1.亚纯函数 定义1 设在区域内除了有极点外处处解析，则称为亚纯函数 例如，有理函数， 全纯函数可看作亚纯函数的特例。 引理1，设在环线上解析且不为零，在内部亚纯，则在内部只有有限个零点与极点。 引理2.设a为f的n级零点，则必是的一级极点，且 2）设b是f的m级极点，则b必是的一级极点，且. 证：由所设，1）在的某个领域内，有. 其中在的领域内解析，且. 即, 由在点解析便知：是的一级极点，且. 2)由所设在的某去心领域内，有,其中在的某去心领域内解析，且, 于是 . 由于在点解析, 故为的一级极点，且 定理6.1 设为围线，满足1）在内除可能极点外解析; 2）在上解析，且不取零，则 . （其中与分别表示在内部零点个数与极点个数几级算几个） 证明：（1）由已知条件知，在内至多只能有有限个零点与有限个极点，设为在内部不同的零点，其级分别为，为在内部不同的极点，其级分别为，由引理知，在上解析。在内部除了一级极点，与处均解析.由留数定理，得 （2.）令，则 所以 === 推论：若在内部解析，则 注: 辐角原理中的条件2）可减弱为：连续到上，且在上 例8：设 ：试验试辐角原理 解：满足辐角原理条件。又 3. 儒歇定理 定理 6.2 设为围线，与满足：1）它们在内解析，且连续到， 2）在上 ，则 证明：由已知条件，与 都在内部解析，且连续到 在上，， 要证明 即可 但 故只要证明 记，它把变为平面上曲线 但 故不会绕平面原点. 从而 例9：求在内根个数 解：设，则它们在内解析连续到： ，在上， 由儒歇定理， 例10：判断在有几个根 解：设，， 1设 ，求 2设n次多项式 p(z)=a0zn+ a1zn-1+ …+an=0 (a0≠ 0） 在虚轴上没有零点， ，为 虚轴上从 指向 的路径， 证明它的全部零点在左半平面Rez0内 3.设内解析，且，证明 在内必有不动点。 4.证明：在右半平面恰好有一个根。 5 n次方程 (p(z)=)a0zn+ a1zn-1+ …+an=0 (a0≠ 0） 在复数域内有且仅有n个根（几重根就算几个根 首先证明存在R0，方程在圆|z|R内恰有n个根 其次证明，对(z0 |z0|=R0≥R，均有|p(z0)|0 6.证明 方程 的所有根都在圆环 内。 教学后记 3——4