06-图论初步.pptVIP

谢谢 ① 将所有顶点涂成红色； ② 在白色边中挑选一条权值最小的边，使其与红色边不形成圈，将该白色边涂红； ③ 重复②直到有 n?1 条红色边，这 n?1 条红色边便构成最小生成树 T0 的边集合。 例如，对于图 6.4.3(a) 给出的赋权图，按照上述的步骤，容易求出其最小生成树。其中 (b)、(c) 分别是第一步和第二步，(d) 是最后结果。 (a) (b) (d) 图6.4.3 Kruskal 算法的基本思想 设 T0 和 C(T0) 分别为图 G 的最小生成树的边集及其权值，初始状态均为空，算法结束时 T0 包含最小生成树的所有边，C(T0) 表示最小生成树的权值。令 VS是一个不相交的节点的集合，初始状态时 VS = {{v1}, {v2}, …, {vn}}。算法的主要步骤是每次从边集 E 中选出一条未处理的有最小权值的边 (u, v) 进行分析，如果 u 和 v 同属于 VS 的一个元素集，则将边 (u, v) 删除，如果 u 和 v 分属于 VS 的两个元素集，则将边 (u, v) 加入到 T0 中，并将这两个元素集合并为一个元素集，然后再从 E 中另选权值最小的边进行处理，直至找到一棵最小生成树为止。 Floyd 算法的基本思想是：从图的带权邻接矩阵 A = [a(i, j)]n?n 开始，在 A 中用插入顶点的方法依次构造出 n 个矩阵 D(1), D(2), …, D(n)，使最后得到的矩阵 D(n) 成为图的距离矩阵，即矩阵 D(n) 的 i 行 j 列元素便是 i 号顶点到 j 号顶点的距离。构造 D(i) 的同时，也引入一个路由矩阵 P(i) 来记录两点间的最短路径。 (1) 构造矩阵 D(k)(k = 1, 2, …, n) 采用如下的递推公式： D(0) = [dij(0)]n?n = A：是带权邻接矩阵，dij(0) 表示从 vi 到 vj 的、中间不插入任何点的路径，即边 vivj 的权值； D(1) = [dij(1)]n?n，其中 dij(1) = min{dij(0)，di1(0) ? d1j(0)} 这里 dij(1) 表示从 vi 到 vj 的、中间最多只允许 v1 作为插入点的路径中最短路的长度； D(2) = [dij(2)]n?n，其中 dij(2) = min{dij(1)，di2(1) ? d2j(1)} 这里 dij(2) 表示从 vi 到 vj 的、中间最多只允许 v1 和 v2 作为插入点的路径中最短路的长度； ………… ………… D(n?1) = [dij(n?1)]n?n，其中 dij(n?1) = min{dij(n?2)，di, n?1(n?2) ? dn?1, j(n?2)} 这里 dij(n?1) 表示从 vi 到 vj 的、中间最多只允许 v1, v2, …, vn?1 作为插入点的路径中最短路的长度，即 vi 和 vj 之间的距离。 D(n) = [dij(n)]n?n，其中 dij(n) = min{dij(n?1)，din(n?1) ? dnj(n?1)} 这里 dij(n) 表示从 vi 到 vj 的、中间最多只允许 v1, v2, …, vn?1, vn 作为插入点的路径中最短路的长度，即 vi 和 vj 之间的距离。 (2) 建立路由矩阵 P(k)(k = 1, 2, …, n) 采用如下的递推形式： 首先令 P(0) = [pij(0)]n?n，其中 在此，pij(0) 表示从 vi 到 vj 的、中间不插入任何点的最短路经，即边 vivj 形成的路径。 其次，每求得一个 D(k) 时，按下列方式产生相应的新的 P(k) = [pij(k)]n?n，其中 即当 vk 被