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§1-2 条件分布与条件数学期望 一．条件分布 二．条件数学期望 一．条 件 分 布 设 pij = P{ X = xi , Y = yj }（ i, j = 1, 2, … ）是二维离散型随机向量(X，Y )的联合分布律， 则在事件 {Y = yj } 已发生的条件下，事件 {X = xi } 发生的条件概率 P{ X = xi | Y = yj } （ i = 1, 2, … ） 称为在 Y = yj 的条件下随机变量 X 的条件分布律。 条件分布律的 定义 在事件{ X = xi }已发生的条件下，事件{Y = yj }发生的条件概率 P{ Y = yj | X = xi } （ j = 1, 2, … ） 称为在 X = xi 的条件下随机变量 Y 的条件分布律。 (X，Y )为二维离散型随机向量 在 Y = yj 的条件下随机变量 X 的条件分布律 条件分布律的 计算公式 在 X = xi 的条件下随机变量 Y 的条件分布律 (X，Y )为二维离散型随机向量 （2）条件分布律由联合分布律确定。 （3）联合分布律由边际分布律 和条件分布律共同确定。 （1）条件分布律计算公式成立的条件。 注 记 (X，Y )为二维离散型随机向量 （4）离散型随机变量X、Y 相互独立的充要条件 例题 1 X Y 1 2 3 4 2 3 4 P{ X = m , Y = n } = P{ 共射击 n 次，其中第 m , n 次击中目标， 其余 n-2 次不击中目标 } = p2 (1-p) n-2 （m n ） 0 0 0 0 0 0 ? ? ? ? ? ? 一战士进行射击，击中目标的概率为 p（0 p 1），射击到击中目标两次为止，设 X 以表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y 表示总共进行的射击次数，试求 X 和Y 的联合分布律及条件分布律。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? p2 p2 (1-p) p2 (1-p) p2 (1-p) 2 p2 (1-p) 2 p2 (1-p) 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (X，Y )为二维离散型随机向量 在 Y = yj 的条件下随机变量 X 的条件分布函数 条件分布函数的 计算公式 在 X = xi 的条件下随机变量 Y 的条件分布函数 (X，Y )为二维离散型随机向量 设 F ( x, y ) 是二维随机向量 (X，Y )的联合分布函数。 条件分布函数的 定义 (X，Y )为二维连续型随机向量 给定 y ，设对于任意固定的正数 ?，P{ y ? Y y + ? } 0， 且若对于任意实数 x ，极限 存在，则称此极限为在 Y = y 的条件下 X 的条件分布函数， 记为 条件分布函数的 计算公式 (X，Y )为二维连续型随机向量 若对于固定的 x ， f X ( x ) 0，则 设 f ( x，y ) 是二维连续型随机向量(X，Y )的联合概率密度， 若对于固定的 y ， fY ( y ) 0，则 在 Y = y 的条件下 X 的条件概率密度 条件概率密度的 计算公式 在 X = x 的条件下 Y 的条件概率密度 (X，Y )为二维连续型随机向量 （2）条件概率密度由联合概率密度确定。 （3）联合概率密度由边缘概率密度 和条件概率密度共同确定。 （1）条件概率密度计算公式成立的条件。 (X，Y )为二维连续型随机向量 注 记 （4）连续型随机变量X、Y 相互独立的充要条件 例 题 2 0 1 1 y = x y G 设二维连续型随机变量( X , Y) 的联合概率密度函数为， 求 fX\Y ( x | y ) ，0 y 1． (X，Y )为二维连续型随机向量 条件分布函数的定义 (X，Y )为一般二维随机向量 条件分布函数的 计算公式 重要结论 (X，Y )为一般二维随机向量 如