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等周问题 圆是最完美的图形。 ——但丁 引题：人需要很多土地吗？（俄国托尔斯泰） 有人卖地，规定太阳一出来，来买地的人就出去跑，一天内跑圈多大地方，这地就属于他，价格1千卢布，但太阳落山时须回到出发地，否则1千卢布白花。 巴霍姆去买地，太阳一出来他就开始跑。 巴霍姆先向前跑了10里才开始向左直拐， 又跑了许多路再向左拐第二个直弯， 此时正值中午，巴霍姆又跑了2里， 还有15里赶近路，终于在太阳落山时回到出发地。 但随即倒地不省人事，当家人告诉他圈出的地方不值1千卢布时，巴霍姆立刻口吐鲜血而亡。 托尔斯泰通过小说告诫世人： 人不能贪得无厌，宝贵的是生命，重要的是人的智慧。 本课题学习的意义 苏步青认为：等周问题是人类理性文明中，既精要又美妙的一个古典几何问题，是数学教师理想的进修课题。” 等周问题是17世纪数学家感兴趣的问题之一。它在数学发展史上占有重要地位，对变分法的产生和发展起了重要作用。 等周问题的发现——自然界的现象 大自然偏爱圆形，向日葵的子盘，千万种美丽的花朵，都是圆形的。 水管等管道 大自然也偏爱球形 树叶上的露珠，太阳、地球、月亮、行星，头盖骨等都自然地形成球形或近似于球形。 寒夜，一只猫钻进干草垛，把自己的身体尽可能蜷伏成球形。 很多水果是球形的，等等。 这是为什么？ 等周定理：周长定值的一切封闭曲线中,圆围成的面积最大 。 假设φ是周长为定值面积最大的封闭曲线。 多边形等周定理 引理2：在各边之长固定的所有n边形中，能内接于圆的n边形面积最大。 多边形等周定理的证明 多边形等周定理： 在周长为定值l的一切n(n≥3)边形中，正n边形的面积最大。 总结：等周定理系列 在所有等周的平面封闭图形中，圆面积最大。 在所有等面积的平面封闭图形中，圆周长最小。 在所有等周的n(n≥3)边形中，正n边形面积最大。 在所有等面积的n(n≥3)边形中，正n边形的周长最小。 空间中有类似的定理。 应用2：人需要很多土地吗？（俄国托尔斯泰） 有人卖地，规定太阳一出来，来买地的人就出去跑，一天内跑圈多大地方，这地就属于他，价格1千卢布，但太阳落山时须回到出发地，否则1千卢布白花。 巴霍姆去买地，太阳一出来他就开始跑。 巴霍姆先向前跑了10里才开始向左直拐， 又跑了许多路再向左拐第二个直弯， 此时正值中午，巴霍姆又跑了2里， 还有15里赶近路，终于在太阳落山时回到出发地。 但随即倒地不省人事，当家人告诉他圈出的地方不值1千卢布时，巴霍姆立刻口吐鲜血而亡。 托尔斯泰通过小说告诫世人： 人不能贪得无厌，宝贵的是生命，重要的是人的智慧。 练习 5、水槽问题 已知马口铁的宽度为b，用它来制作水槽。由于水槽的截面愈大，水的流量就愈多，因此希望截面尽可能地大。 ①若要求水槽的截面为等腰梯形，那么如何设计水槽的底与腰长以及底角，才能使水槽中水的流量最大？若水槽的截面为五边形，又该如何设计？说明理由。 ②问怎样利用马口铁的现有宽度，来满足水槽具有最大截面的要求？说明理由。 6、（1978年北京市数学竞赛题）设有一直角O，试在直角的一边上求一点A，在另一边上求一点B，在直角内求一点C，使BC+CA等于定长l，且使四边形ACBO的面积最大。 问题探讨 1.表面积为定值，体积最大的n棱柱的形状如何？说明理由。 2.表面积为定值，体积最大的柱体形状如何？说明理由。 结语 等周定理能启迪我们不断提出问题； 波利亚说，等周的根深札于我们的经验直觉之中，它是灵感的不竭源泉。 * 等周问题的发现——泡沫实验 把一根柔软的细线两端连接起来，围成一个任意形状的封闭曲线，把它轻轻放在充满泡沫的肥皂液上，用烧热的针刺破曲线内的薄膜，此时这条封闭曲线立即变成一个圆. 17世纪各种泡沫实验在数学家中风靡一时，实验的目的是从中获取数学猜想。 周长为1的图形的面积 图形 面积 圆 0.0793 正方形 0.0625 象限角形900 0.0616 矩形（3：2） 0.0601 半圆 0.0595 等边扇形600 0.0564 矩形（2：1） 0.0556 等边三角形 0.0481 矩形（3：1） 0.0464 等腰直角三角形 0.0427 泡沫实验获得的猜想：在周长为定值的一切封闭曲线中,以圆所围成的面积为最大。 笛卡尔的验证 这个简短的表强烈地暗示出等周定理，因为再在表中增加几个图形，也增加不了多少启发性。 首先证明φ是凸图形, 然后证明平分φ周长的弦必平分面积； 最后证平分周长与面积的弦AB必是直径； 综上所述φ为圆. 等周定理的2种形式及其等价 形式1：在所有等周的平面封闭图形中， 以圆面积最大。 形式2：在所有等面积的平面封闭图形中，以圆周长最小。 是面积为A的圆，其周长为p，P是面积为A的非圆闭曲线，其周长为q，则必有p