高数同济5上册复习.ppt

习题课 第一章 函数与极限 一、主要内容 5、反函数与直接函数之间的关系 第二章 导数与微分 第三章 中值定理与导数的应用 第四章 不定积分 一、主要内容 第五节 定积分 第六章 定积分的应用 第七章 空间解析几何与向量代数 记为 可积的两个充分条件： 定理1 定理2 3、存在定理 4、定积分的性质 性质1 性质2 性质3 性质5 推论： （1） （2） 性质4 性质7 (定积分中值定理) 性质6 积分中值公式 5、牛顿—莱布尼茨公式 定理1 定理2（原函数存在定理） 定理 3（微积分基本公式） 也可写成 牛顿—莱布尼茨公式 6、定积分的计算法 换元公式 （1）换元法 （2）分部积分法 分部积分公式 ７、广义积分 (1)无穷限的广义积分 (2)无界函数的广义积分 微 元 法 理 论 依 据 名称释译 所求量 的特点 解 题 步 骤 定积分应用中的常用公式 一、主要内容 1、理论依据 2、名称释译 3、所求量的特点 4、解题步骤 5、定积分应用的常用公式 (1) 平面图形的面积 直角坐标情形 如果曲边梯形的曲边为参数方程 曲边梯形的面积 参数方程所表示的函数 极坐标情形 (2) 体积 x y o 平行截面面积为已知的立体的体积 (3) 平面曲线的弧长 弧长 A．曲线弧为 弧长 B．曲线弧为 C．曲线弧为 弧长 (4) 旋转体的侧面积 x y o (5) 细棒的质量 (6) 转动惯量 (7) 变力所作的功 (8) 水压力 (9) 引力 (10) 函数的平均值 (11) 均方根 定理(第一充分条件) 定理(第二充分条件) 求极值的步骤: 步骤: 1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值; 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值) (3) 最大值、最小值问题 实际问题求最值应注意: 1)建立目标函数; 2)求最值; (4) 曲线的凹凸与拐点 定义 定理1 方法1: 方法2: 利用函数特性描绘函数图形. 第一步 第二步 (5) 函数图形的描绘 第三步 第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势; 第五步 (6) 弧微分 曲率 曲率圆 曲率的计算公式 定义 积分法 原 函 数 选 择 u 有 效 方 法 基 本 积 分 表 第一换元法 第二换元法 直接 积分法 分部 积分法 不 定 积 分 几种特殊类型 函数的积分 1、原函数 定义 原函数存在定理 即：连续函数一定有原函数． 2、不定积分 (1) 定义 (2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. (3) 不定积分的性质 3、基本积分表 是常数) 5、第一类换元法 4、直接积分法 第一类换元公式（凑微分法） 由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法. 常见类型: 6、第二类换元法 第二类换元公式 常用代换: 7、分部积分法 分部积分公式 8.选择u的有效方法:LIATE选择法 L----对数函数； I----反三角函数； A----代数函数； T----三角函数； E----指数函数； 哪个在前哪个选作u. 9、几种特殊类型函数的积分 （1）有理函数的积分 定义 两个多项式的商表示的函数称之. 真分式化为部分分式之和的待定系数法 四种类型分式的不定积分 此两积分都可积,后者有递推公式 令 （2） 三角函数有理式的积分 定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为 （3） 简单无理函数的积分 讨论类型： 解决方法： 作代换去掉根号． 问题1: 曲边梯形的面积 问题2: 变速直线运动的路程 存在定理 广义积分 定积分 定积分 的性质 定积分的 计算法 牛顿-莱布尼茨公式 一、主要内容 1、问题的提出 实例1 （求曲边梯形的面积A） 实例2 （求变速直线运动的路程） 方法:分割、求和、取极限. 2、定积分的定义 定义 4、间断点的定义 (1) 跳跃间断点 (2)可去间断点 5、间断点的分类 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点: 可去型 第一类间断点 跳跃型 0 y x 0 y x 0 y x 无穷型 振荡型 第二类间断点 0 y x 第二类间断点 6、闭区间的连续性 7、连续性的运算性质 定理 定理1 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. 定理2 8、初等函数的连续性 定理3 定理4 基本初等函数在定义域内是连续的. 定理5 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间. 9、闭区间上连续函数的性质 定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最