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竞赛辅导32
不定积分
1、
2、
3、
4、
5、(令,再令)
利用定积分定义解题
6、求
7、求
8、求
9、设连续,求
10、设且是连续函数,证明
(利用
利用定积分性质
11、设连续,且
12、判定的符号。
13、设且是在单调减少的连续函数,,求证存在。
14、求(分三种情况讨论,其中时,)
15、设且在上连续,则至少存在使.
反证法,假设,则对任意,有
16、证明: ()
17证明:改为又如何证)
只要求在[0,1]的最大、最小值(,分别求在[0,]与的最大、最小值)
18、设,在上连续且是增函数,证明:
(注意),两边先以为积分变量积分,再以为积分变量积分)
20、证明许瓦尔兹不等式
,即,
是关于的一元二次不等式方程,
(例可证明:),
可设,再用以上不等式)
21设在上连续,在可导,且求证
22、设在上有连续二阶导数,且求证:
23、设是在单调减少的连续函数,对任意,证明:
24、对于,n为正整数,求证:
( 不是极值点,有惟一极大值点,即有惟一最大值点,即
)
25、求下列极限:()
四、与积分上限函数有关的题
26、计算
27、设可导,且
28、设连续,且当时, 求。
(可设:,得
五、定积分的计算
29、(分讨论)
30、
31、
32、证明
33、计算:
34、设连续,周期为T(0),证明:
35、证明公式:
应用:求
36、证明公式:
应用:求
由于
故
而
37、设
38求
(余参照第2题)
六、定积分应用
主要掌握:平面图形面积、体积、弧长、功、水压力
39、求由摆线与轴所围成的图形的面积。
40、设在上连续,在内,求证存在惟一的点,使与所围面积A1是与与所围面积A2的3倍。
本题即要求证:存在,使
令,则在上连续,且
所以存在,使
又
,单调增加,因此只有一个零点。
41 求平面图形绕轴旋转一周生成立体的体积。
(例求由曲线绕轴旋转一周的体积。)()
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