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数值计算第2章
第2章 贝齐尔曲线和B样条曲线 到了70年代,法国雷诺汽车公司的工程师贝齐尔(Bezier)创造出一种适用于几何体外形设计的新的曲线表示法。这种方法的优越性在于:对于在平面上随手勾画出的一个多边形(称为特征多边形),只要把其顶点坐标输入计算机,经过不到一秒钟的计算,绘图机就会自动画出同这个多边形很相像、又十分光滑的一条曲线。这种方法被人们称为贝齐尔(Bezier)方法(以下统称为Bezier方法)。 2.1 贝齐尔曲线 2.2 B样条函数 2.3 B样条曲线 2.4 自由曲线设计 2.1 贝齐尔曲线 贝齐尔曲线的形状是通过一组多边折线(也称为贝齐尔控制多边形)的各顶点惟一地定义出来的。在该多边折线的各顶点中,只有第一点和最后一点在曲线上,其余的顶点则用来定义曲线的形状。图2-1列举了一些Bezier多边折线和相应的Bezier曲线的形状关系。 2.2B样条函数 为了定义B样条曲线,首先给出n次截幂函数和n阶B样条函数的定义。我们称 为n次截幂函数,即 称Mn(x)为n阶B样条函数,即 B样条函数具有下列的重要性质: (1)Mn(x)是分段n-1次多项式。当n为偶数时具有整数节点xk=-n/2+k,当n为奇数时具有半整数节点:xk=-n/2+k。比如: n=2, k=0,1,2, x0=-1, x1=0, x2=1 n=3, k=0,1,2,3,x0=-1.5, x1=-0.5, x2=0.5,x3=1.5 (2)在整个实数轴上,Mn(x)具有n-2次连续导数。 (3)Mn(x)是偶函数。 (4)Mn(x)具有非负性质,即当|x|<n/2时,Mn(x)0;当|x|n/2时,Mn(x)= 0;且0≤Mn(x)≤1。 2.3 B样条曲线 给定一组初始型值点Pi(i=0,1,…,n),将它们按次序连接为折线段,称为控制多边形。我们称 为m次B样条曲线。它是对参数t具有m-1阶连续导数的分段m次多项式。 * 图2-1Bezier曲线 称为n次Bernstein多项式的基函数,Bezier曲线就是以此为基础构造出来的。 2到8次Bezier曲线的图例,如图2-3所示。 图2-3Bezier曲线图例 B样条函数图如图2-4所示。 图2-4B样条函数
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