[初三数学]第18讲 相似三角形.ppt

【预测1】 四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③和④四个三角形．若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是 (　　) A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 解析　∵OA∶OC＝OB∶OD， ∠AOB＝∠COD(对顶角相等)， ∴①与③相似．故选B. 答案　B 【预测2】 在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE.写出图中两对相似三角形(不得添加辅助线)________． 答案　△ABC∽△ADE(或△ABD∽△ACE) 【预测3】 如图，D、E两点分别在△ABC 的边AB、AC上，DE与BC不平行，当满足________条件(写出一个即可)时，△ADE∽△ACB. 解析　本题考查相似形的判定，(1)等腰三角形三角不一定相等，不符合相似三角形的特点，错误；(2)所有的正三角形三角相等，是相似三角形，正确；(3)所有的正方形各角都相等，各边都相等，因此都相似，正确；(4)所有的矩形各角都相等，但各边不一定相等，所以不都相似，错误．其中真命题是(2)、(3)． 答案　(2)、(3) 【预测4】 下列判断中：(1)所有的等腰三角形都相似；(2)所有的正三角形都相似；(3)所有的正方形都相似；(4)所有的矩形都相似．其中判断正确的序号是________． 常考角度 1．利用相似三角形性质求角或求边； 2．利用相似三角形性质求或证明比值关系； 3．与相似比有关的问题． 对接点三：相似（三角形）的性质 【例题1】 (2012·浙江嘉兴)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC.点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF.给出以下四个结论： 答案　①③ 【例题2】 (2012·浙江衢州)如图，平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD＝2DE.若△DEF的面积为a，则平行四边形ABCD的面积为________(用a的代数式表示)． 解析　∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD， ∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF. ∴S△DEF∶S△CEB＝(DE∶CE)2， S△DEF ∶S△ABF＝(DE∶AB)2， ∵CD＝2DE，∴DE∶CE＝1∶3，DE∶AB＝1∶2， ∵S△DEF＝a，∴S△CBE＝9a，S△ABF＝4a， ∴S四边形BCDF＝S△CEB－S△DEF＝8a. ∴S?ABCD＝S四边形BCDF＋S△ABF＝8a＋4a＝12a. 答案　12a 1. 抓住相似(三角形)对应元素与相似比的关系，如高、中线、角平分线、周长、面积． 2．求角、求边或证明成比例的线段一般考虑相似三角形． 3．在相似三角形中，公共边的平方等于共线边的积．(如例题1中的AC2＝AD·AB)． A．AB2＝BC·BD B．AB2＝AC·BD C．AB·AD＝BD·BC D．AB·AD＝AD·CD 【预测1】 如图，△ ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是 (　　) 答案　A A．1∶2 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶16 解析　由相似三角形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比可得． 答案　A 【预测2】 若两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为 (　　) 【预测3】 如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝40 cm，AD＝ 30 cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形 EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC、AB上，AD与HG的交点为M. 求矩形的长与宽． 易 错 防 范 问题1：运用三角形相似的条件时出错． 问题2：运用相似三角形的对应边成比例时出错． 相似三角形的常见错误 (1)∠B＝B′＝60°，∠C＝99°，∠C′＝∠21°； (2)AB＝2，BC＝4，AC＝3，A′B′＝12，B′C′＝16，A′C′＝8. 错解　(1)因为∠B＝∠B′，∠C≠∠C′， 所以△ABC与△A′B′C′不相似； 【典型例题】 1．具备下列条件的△ABC与△A′B′C′相似吗？ 错因分析　(1)∠A和∠A′，∠B和∠B′，∠C和∠C′不一定是对应角； (2)AB与A′B′，BC与B′C′，AC与A′C′不一定是对应边． 正解　(1)∠A＝180°－∠B－∠C＝180°－60°－99°＝21°， 因为∠A＝∠C′，∠B＝∠B′， 所以△ABC∽△C′B′A′； 错解　在△CAD与△CBA中， 因为∠C＝∠