[初中教育]举证及其运算.ppt

2.2 矩阵的运算 2.2.8 矩阵乘法应用之一：线性变换 2.2.9 方阵的方幂 探讨性问题 证明： cos? - sin? sin? cos? cos n? - sin n? sin n? cos n? n = 2.2 矩阵的运算 2.2.8 矩阵乘法应用之一：线性变换 2.2.9 方阵的方幂 2.2.10 矩阵的转置 把矩阵 A 的行换成同序数的列，得到一个新矩阵，叫做 A 的转置矩阵。记作AT。 a11 a12 … a1s a21 a22 … a2s … am1 am2 … ams A = a11 a21 … am1 a12 a22 … am2 … a1s a2s … ams AT = aij = ajiT 2.2 矩阵的运算 2.2.10 矩阵的转置 例：求 A 的转置矩阵 1 3 2 - 1 0 1 … A = 1 2 0 3 - 1 1 AT = 解： 例： b1 b2 bn … B = BT = (b1, b2,… bn) 2.2 矩阵的运算 2.2.10 矩阵的转置 2.2.11 转置矩阵的运算规律 (1) (AT)T = A (2) (A + B)T = AT + BT (3) (?A)T = ?AT (4) (AB)T = BTAT 证明 (AB)T = BTAT 其中 cij = ai1 b1j + ai1 b1j +…+ ais bsj A B = C = c11 … c1j… c1n cm1… cmj…cmn ci1 … cij … cin … … … … … … a11 a12 … a1s am1 am2 … ams … ai1 ai2 … ais … … … … … A = b11 … b1j … b1n bs1 … bsj … bsn … … … b21 … b2j … b2n B = 转置后 cjiT = cij = ai1 b1j + ai1 b1j +…+ ais bsj CT = c11 … c1i… c1n cm1… cmi…cmn cj1 … cjiT … cjn … … … … … … a11 a12 … a1s am1 am2 … ams … ai1 ai2 … ais … … … … … A = a11 … ai1 … am1 a1s … ais … ams … … … a21 … ai2 … am2 AT = b11 … b1j … b1n bs1 … bsj … bsn … … … b21 … b2j … b2n B = b11 b21 … bs1 b1n b2n … bsn … b1j b2j … bsj … … … … … BT = 转置后 cjiT = cij = ai1 b1j + ai1 b1j +…+ ais bsj a11 … ai1 … am1 a1s … ais … ams … … … a21 … ai2 … am2 AT = 设 BTAT 中的 j 行 i 列的元素为 dji b11 b21 … bs1 b1n b2n … bsn … b1j b2j … bsj … … … … … BT = 转置后 cjiT = cij = ai1 b1j + ai1 b1j +…+ ais bsj 则 dji = ai1 b1j + ai1 b1j +…+ ais bsj = cjiT 所以 (AB)T = BTAT 设列矩阵X = (x1, x2 , … , xn)T 满足XTX = 1，E为 n 阶单位矩阵，H = E – 2XXT，证明 H 是对称矩阵，且 HHT = E。 HT = (E – 2XXT)T = ET – (2XXT)T = E – 2(XT )T XT = E – 2X XT = H 所以 H 是对称矩阵 H HT = HH = (E – 2XXT)(E – 2XXT) = E – 2XXT – 2XXT + (2XXT)(2XXT) = E – 4XXT + 4X(XTX)XT = E – 4XXT + 4XXT = E 习题二 2 6 8 2.3 方阵的行列式 a11 a12 … a1n a21