[初二数学]韦达定理.doc

专题七 韦达定理 例1 已知关于x的二次方程2x2+ax-2a+1=0的两个实根的平方和为7,求a的值. 解析 设方程的两实根为x1,x2,根据韦达定理,有 于是,x=(x1+x2)2-2x1·x2 =(-)2-2· =（a2+8a-4） 依题设,得(a2+8a-4)=7. 解得a=-11或3. 注意到x1,x2为方程的两个实数根, 则△≥0,但a=-11时,△=(-11)2+16×(-11)-8=-630; a=3时,△=32-4×2×(-6+1)=490, 故a=3. 点评 韦达定理应用的前提是方程有解,即判别式△≥0,本题容易忽视的就是求出a的值后,没有考虑a的值满足△≥0这一前提条件. 例2 已知关于x的方程x2+2mx+m+2=0,求:(1)m为何值时,方程的两个根一个大于0,另一个小于0;(2)m为何值时,方程的两个根都是正数;(3)m为何值时,方程的两个根一个大于1,另一个小于1. 解析 (1)据题意知,m应当满足条件 即 由①,得m2或m-1, ∴m-2. (2)m应当满足的条件是 即 ∴-2m-1. (3)m应当满足的条件是 即 ∴ ∴m-1. 点评 若已知含字母系数的一元二次方程的根的范围,求字母系数的范围,应根据已知和韦达定理,灵活地将字母系数应满足的条件一一列出来,然后再求解. 例3 已知△ABC的边长分别为a,b,c,且abc,2b=a+c,b为正整数,若a2+b2+c2=84,求b的值. 解析 依题设,有 a+c=2b, ① a2+b2+c2=84. ② ②可变为(a+c) 2-2ac=84-b2, ③ ①代入③,得 ac=, ④ ∴a、c是关于x的一元二次方程x2-2bx+=0的两个不相等的正实数根. 即16b228. 又b为正整数,故b=5. 点评 韦达定理的逆定理是:如果x1,x2满足x1+x2=-，x1·x2=,那么x1·x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,此解的独特之处在于利用a+c=2b,将a2+b2+c2=84转变为ac=,从而构造韦达定理逆定理所需的条件. 例4 (2001年河南省)已知关于x的方程4x2+4bx+7b=0有两个相等的实数根,y1,y2是关于y的方程y2+(2-b)y+4=0的两个根,求以，为根的一元二次方程. 解析 ∵关于x的方程4x2+4bx+7b=0有两个相等的实数根, ∴ △=(4b)2-4×4×7b=0, 即b2-7b=0. ∴b1=0,b2=7. 当b=0时,,关于y的方程化为y2+2y+4=0, 因△=4-16=-120,方程无解. 当b=7时,关于y的方程可化为y2-5y+4=0, 解得y1=4,y2=1. 则+=3，·=2 ∴ 以，为根的一元二次方程为y2-3y+2=0. 点评 本题既考查了判别式,韦达定理的逆定理,又考查了分类讨论的思想,b=0时得到的方程无解易忽视,应重视. 例2 (2001年四川省)已知x1,x2是关于x的一元二次方程4x2+4(m-1)x+m2=0的两个非零实数根,问x1与x2能否同号?若能同号,求出相应的m的取值范围;若不能同号,请说明理由. 解析 ∵关于x的一元二次方程4x2+4(m-1)x+m2=0有两个非零实数根, ∴△=[4(m-1)]2-4×4m2=-32m+16≥0, ∴m≤. 又x1,x2是方程4x2+4(m-1)x+m2=0的两个实数根. ∴x1+x2=-(m-1),x1·x2=m2 假设x1,x2同号,则有两种可能: ①若x10,x20,则 即 ∴m1且m≠0,此时,m≤且m≠0; ②若x10,x20则有 即 而m≤时方程才有实数根, ∴ 此种情况不可能. 综上所述,当m的取值范围为m≤且m≠0时,方程的两实根同号. 点评 存在性问题的探索一般是先假设存在,然后据已知和相关知识进行推理,若推理的结论与题设或概念、定理、事实等相矛盾,则假设不成立,从而不存在,反之则存在. 例6 (1998年江苏初中数学竞赛题)求满足如下条件的所有k值:使关于x的方程kx2+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数.