[化学]化工过程最优化 动态系统参数的变分优化法.ppt

利用泛函极值必要条件欧拉方程可得 即： 边界条件 由于 t =θ时 x 是自由的， 所以由欧拉方程的推导过程可知 此时只有 才能使欧方程成立， 因此有 因为 原变分问题 便转化成下面微分方程组的边值问题 例子：具有回流的连续反应系统的最优控制问题 浓度为xi的物料以常流量q 流入混合器 与分离器回流的物料混合后，以浓度x0 及流量 q + r进入反应器，反应后浓度为xθ在分离器中分离出浓度为xf的产品以流量q 流出， 另一部分浓度为xr 的物料以流量r 回流至混合器。 混合器 反应器 分离器 xi q x0 q+r xθ q+r Xf q xr r 反应器内进行 不可逆吸热反应 反应动力学方程为 式中 T 为反应温度 分离器的分割比 s定义为 令c1 表示纯产品的单价，C2 表示反应器升高单位温度所消耗的能量费用 ， C3表示原料的单位成本 问题是应如何控制反应温度 T 才能在[0, θ]时间内获得最大的利润。 根据下列关系 利润= 总收入- 操作费用 -原料成本 可构造目标函数 分离器物料平衡为 混合器物料平衡为 由反应速度方程有 代入目标函数得 式中 A = cr+q由于y0是常数，所以原问题转化为求目标函数 引进拉格朗日泛函 第二部分第四章 动态系统参数的变分优化法 前3章讨论了静态最优化问题。本章将讨论动态最优化问题。 动态最优化问题通常又称为最优控制问题，它与静态最优化问题的区别在于其自变量一般都是时间的函数。 对于合成氨、合成甲醇、二氧化硫氧化、乙烯水合等可逆放热反应，随着温度升高，平衡常数下降。因而，在管式反应器中进行这一类反应时，常在进口处（即反应混合物组成离平衡组成较远时）采用较高的温度来加快反应速率，而在出口区即反应混合物接近平衡组成时，用较低的温度。 故在反应管的各个截面上各存在最优温度，从而构成管式反应器的最优温度分布。 在这种情况下，决策变量温度随位置变化的函数关系成为决策变量函数，而状态变量转化率随位置变化的函数关系称为状态变量函数。 管式反应器中连续变量的最优控制问题还有很多例子，如在磷酸钙催化剂上α-羟基异丁酸脱氢的过程，在活性炭上使氯化氰三聚为三聚氯氰的过程以及合成醋酸乙烯酯的过程等。 总结: 连续变量系统的最优化问题，是一类最优化控制问题，其决策变量和状态变量不是离散函数，而是在某一时间或空间域中的连续函数. 目标函数随状态变量和决策变量的不同而不同，也就是说目标函数是函数的函数。 求泛函的极小问题也是一种极值问题 。 泛函的极小问题的求解与之前讲过的一般函数 F(x)的极值的求解有很多相似之处。 1）对于无约束问题， 根据极值存在的充分必要条件。 2）对于有约束的最优化问题， 则先利用拉格朗日函数或罚函数， 将其转化成无约束最优化问题后再求解 。 一般函数 F(x)的极值： 求泛函极值问题的有效方法是变分法。 如果有一类函数 ,对每一个函数 都有一个值 与之对 应，则J称为函数 的泛函数，简称泛函。记做 ，泛函 数实际为函数的函数。 即：泛函的值是函数的选取而定 ，函数 的值是由自变量的选取而定。 变分法的基本概念 1、 泛函的定义： 特点：函数给定后，泛函J相对于一个确定的值， 如： 不是泛函，因为 给定时 ， 是 的函数。 例如： 是泛函数 的值由 的选取而定 若 则 若 则 因此，泛函的极值的求解就是确定一条曲线—— 2、 泛函的极值的定义： 若 泛函 在任何一条与 曲线接近的曲线上的值均不小于 ，即： ，则称泛函 在曲线上达到极小值。 t y y(t,x) a b 4.2 无约束连续系统的最优化 1 泛函极值的必要条件 讨论泛函： 的极小值问题，也是一种极值问题。因此首先回顾一 下F（x）极值的一些性质。 对于泛函I[y(x)]，当函数y(x)经微小改变后变为y1(x)， 则称 为函数的变分。它表示了y(x) 的微小改变， 也常写为 式中 ψ(x)是一个连续可微的任意函数; ε是一个很小的正数 当 →0时 ε→0 若 y(x)的微小